ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ VII

Граничные условия в теории пластинок

264. Кажется (это и было предположено Пуассоном), что в любой точке границы срединной поверхности можно задать три величины, т. е. приложенные к краю пластинки перерезывающую силу, изгибающий момент и крутящий момент, приходящиеся на единицу длины контура пластинки. Покажем, однако, что если упругая энергия изгиба дается формулой (19) § 234, то фактически в любой точке контура могут быть заданы только две величины.

266. Формулу (19) для упругой энергии на единицу площади с помощью равенств (21) можно написать так:

Это частный случай общей формулы (11) главы I, § 10, потому что, как мы видели, являются перемещениями, соответствующими .

Полную упругую энергию изгиба (скажем мы найдем, если проинтегрируем по всей площади срединной поверхности.

Подставив из равенств (20) в (66) и проинтегрировав указанным образом, мы получим:

удовлетворяют уравнениям (24) и (25)]

256. Ко второму и третьему членам этого выражения применим формулу Грнна, а именно преобразование, выражаемое равенством:

Рис. 85.

В этом равенстве суть любые непрерывные функции косинусы углов внешней нормали на рис. 85) с осями элемент дуги контура. Если подставить (23) в первые члены (68) и воспользоваться формулой Грина, то

Криволинейный интеграл берется по всей границе срединной поверхности.

Будем отсчитывать так, чтобы (рис. 85) образовали правую систему ортогональных осей.

Вообще мы имеем:

Выражение (I) можно переписать в виде:

где как показано на рис. 85, суть приложенные к краю пластинки перерезывающая сила, изгибающий момент и крутящий момент, приходящиеся на единицу длины контура). Наконец, так как

и так как последний член выражения (IV) после интегрирования по замкнутому контуру даст нуль, то мы можем заменить выражение (III) следующим:

Поверхностный интеграл, очевидно, выражает энергию, запасаемую пластинкой при действии распределенной нагрузки Криволинейный интеграл выражает работу, совершаемую силами, приложенными на краю.

257. является перемещением, соответствующим О (см. рис. 85), следовательно, последний член в

криволинейном интеграле выражает работу, совершаемую изгибающими моментами, приложенными к краю. Первый член показывает, что сила, соответствующая равна а не просто как можно было ожидать.

Кельвин и объяснили это следующим образом. Приближенная теория не может учесть различие в способе приложения заданных компонентов упругого момента, поэтому ее формулы могут применяться (при той точности, которую она дает вообще) тогда, когда крутящий момент приложен в виде сил, направленных перпендикулярно срединной поверхности. Если это так, то эквивалентно некоторому распределению перерезывающих сил типа Действительно, предположим, что момент на элементе длины приложен в виде двух поперечных сил действующих в двух точках, расположенных друг от друга на расстоянии Пусть погонный момент на соседнем элементе имеет величину и приложен аналогичным образом. Тогда в общей точке двух элементов длины разность сил (в направлении равна величине т. е. Будем неограниченно уменьшать получим распределенную перерезывающую силу типа имеющую на единице длины контура интенсивность