Спиральные пружины

67. Теперь мы приступим к изучению иной, но очень похожей задачи. Исследуем задачу о спиральной пружине, которая употребляется, например, в часах. Сначала рассмотрим тот случай, когда конец А (рис. 23) закреплен так, что может свободно поворачиваться. Тогда равен нулю. Неизвестные силы, вызываемые связью, можно разложить на две перпендикулярные составляющие Ось у выбрана так, что она проходит через центр закручиваемого валика.

Рис. 23.

Конец А имеет шарнир. кручивающий момент» в А, направленный против часовой стрелки, равен

И для изгибающего момента в точке определяемой координатами мы имеем

Последнее равенство получено на основании (I). Полная упругая энергия изгиба дается соотношением (17)

где В — постоянная жесткость при изгибе, а -полная длина пружины. Согласно замечаниям, сделанным в конце § 48, пренебрегаем упругой энергией, возникающей от других видов усилий.

Тогда по теореме Кастилиано, вспомнив, что точка приложения неподвижна, мы имеем

Для поворота валика, происходящего при приложении получаем;

Из (III) мы имеем:

и, согласно (IV), (V)

Так как форма спирали будет вообще такова, что с большой точностью (в силу приблизительной симметрии) мы можем принять

и тогда из (V) имеем

Конец А заделан. Если конец пружины А закреплен так, что он не может поворачиваться, то, как показано на

рис. 23, появится момент заделки Мы в качестве условия заделки А будем иметь дополнительное соотношение

Для закручивающего момента будем иметь равенство

Выражение (VIII) заменяет (I). Вместо (II) будем иметь

Условие (VII) требует, чтобы

Уравнение (III) заменяется уравнением

и (IV) уравнением

Упростив (X) и (XI) с помощью (VI) и (VIII), мы найдем, что

И тогда из (XII) мы имеем

68. Таким образом, в зависимости от того, может или нет поворачиваться закрепленный конец пружины А, мы получили разные соотношения между

Если пружина имеет много тесно намотанных витков, то приближенно имеет место равенство

и тогда приближенно для пружины с шарниром на конце имеем:

А это, будучи сравнено с формулой (42) для пружины с заделанным концом, показывает, что заделка увеличивает жесткость примерно на 25 процентов.

Как существенную черту задачи следует отметить, что связаны условиями равновесия, т. е. (I) при шарнирно-закрепленном конце и (VIII) при заделанном конце А. Если рассматривать к X независимо друг от друга, то получатся ошибочные результаты. Мы можем рассматривать как функцию X или X как функцию Нами была выбрана вторая зависимость, ибо мы хотели вычислить соотношение между и соответствующим перемещением 9.

Примеры

17. Рассмотреть ту же задачу, предполагая, что закручиваемый валик неподвижен и что А (рис. 23) под действием момента может двигаться свободно. Показать, что теорема взаимности главы I, § 11 выполняется для и «соответствующих» им перемещений. Учесть разницу между (42) и (43), показав, что при угол наклона оси пружины к прямой, соединяющей А с центром закручиваемого валика, изменяется приблизительно на угол, равный Направление отсчета угла совпадает с направлением

18. (Oxford F. Е. Е. S. 1932.) Пружина из однородного материала с посгоянной площадью поперечного сечения, момент инерции которой имеет форму, показанную на рисунке. Она жестко заделана в А. Конец В может свободно вращаться, но принужден двигаться без треиия по направляющей, которая совпадает с вертикальным диаметром

Рассматривая только изгибающие усилия, получить выражение для вертикального перемещения В, когда в этой точке приложен груз

19. (Camb. М. S. Т. 1931.) 05од маховика имеет прямоугольное сечение с радиальной толщиной Толщина мала по сравнению с его средним радиусом Обод связан с втулкой шестью симметрично расположенными спицами. Пусть сила растяжения в каждой из этих спиц Найти изгибающий момент и распор в каком-либо сечении обода как функцию Если я — уменьшение радиуса в точках соединения спиц с ободом, то показать, что приближенно

где площадь поперечного сечения обода.

Деформацией обода вследствие перерезывающей силы можно пренебречь.

Рис. 24.