Собственные колебания стержня постоянного поперечного сечения

213. Очевидно, что основное уравнение (31) будет удовлетворяться любым решением одного из следующих двух уравнений:

Первое из них удовлетворяется функциями или и второе или Следовательно, полное решение уравнения (31) можно записать в следующей форме:

произвольные постоянные. В соответствии с выражением (34), мы имеем:

Из только что записанных соотношений (35) с помощью граничных условий могут быть определены Начало координат удобно помещать в среднем сечении вала. Оба конца оперты.

214. В этом случае прогибы и изгибающие моменты на концах обращаются в нуль, т. е. при мы имеем:

или, воспользовавшись (34) и (35),

при

Решение обращающее тождественно в нуль, мы исключаем, и из (36) получаем две возможности, или

или

Отсюда следует, что ненулевое решение для существует тогда, когда:

Воспользовавшись значением а из (32), имеем:

Оба конца «заделаны».

215. На обоих концах должны обратиться в нуль и т. е. из (34) и (35) имеем:

Из первой пары уравнений, если не равны тождественно нулю, мы имеем:

из второй пары (если не ратны тождественно нулю), мы имеем:

Итак, если не все произвольные постоянные равны нулю (в противоположном случае тождественный нуль), то должны выполняться соотношения (I) и (II). Откуда следует, что или нечетная функция или четная

функция Все критические значения X принадлежат ряду корней уравнения:

Уравнение (III) удовлетворяется корнями уравнений (I) или (II). Уравнение (III) эквивалентно следующему:

Оба конца свободны.

216. В совершенно свободном сечении должны исчезать изгибающий момент и перерезывающая сила, т. е. из уравнений (7) и (8), рассматривая В, как постоянную, мы получаем условия:

Написав эти условия для обоих концов мы из (35) получим:

Эти уравнения аналогичны уравнениям (38), разница только в том, что имеют теперь другие знаки. Выводы аналогичны выводам § 215. Мы получим то же уравнение, что и раньше, а именно:

Этого результата и следовало ожидать, ибо, если сделать замену будет удовлетворять основному уравнению (31), а граничные условия (IV) запишутся в форме:

т. е. граничные условия стали теми же, что и в случае заделанного конца.

Один конец защемлен, другой свободен.

217. В этом случае мы должны удовлетворить следующим условиям:

Из (34) и (35) имеем, что

или

Отсюда (если не равны тождественно нулю), мы получаем:

Следовательно, все критические значения X являются корнями уравнения:

Уравнение (V) эквивалентно уравнению

или

218. С помощью (36) и (32) мы можем получить, что

откуда следует, что X, как и должно быть действительным.

Уравнение (I) относительно X может иметь или действительные противоположные по знаку корни или чисто мнимые Если положительно, то уравнения (39) и (40) можно решить путем пробных подстановок. Наименьший отлпчный от нуля корень уравнения (39) приблизительно равен 4,73, т. е. он очень близок к При больших значениях корней (для которых велик) имеет очень малую положительную величину, так что приблизительно

Рэлей получил следующие значения:

Если с помощью пробных подстановок найти наименьший корень уравнения (40), то окажется, что он приближенно равен 1,875. В этом случае при больших значениях корней имеет очень малую и отрицательную величину. Значения Рэлея суть

так что (как и предполагалось согласно предыдущему доказательству) большие значения корней уравнений (39) и (40) практически тождественны.

Дальнейшие вычисления проводить не будем. В главе XIV будут рассмотрены более общие методы, в которых мы не будем ограничиваться только стержнями постоянного поперечного сечения. С помощью излагаемых там методов со значительно меньшим трудом можно получить достаточно точные результаты

Примеры

27. (Camb. М. S. Т. 1932.) Сплошной вал длины с постоянным круглым поперечным сечением диаметра вращается в находящихся на одинаковом уровне подшипниках, помещенных

в точках Ни один из подшипников не противодействует изменению направления вращения

Показать, что критические скорости вала представляют собой корпи уравнения:

где

[Можно использовать метод решения примера 18 (§ 202).]

28. (Camb. М. S. Т. 1933.) Имеется вал постоянного поперечного сечения, масса единицы длины вала равна Один конец вала вращается в длинном горизонтальном подшипнике (зазор пренебрежимо мал). Консольная часть вала (вне подшипника) имеет длину I и на свободном конце несет малую, но тяжелую массу Центр тяжести этой массы находится на оси вала. Показать, что критические скорости вала определяются соотношением:

где угловая скорость вала, I — момент инерции площади поперечного сечения относительно его диаметра.

29. (Camb. М. S. Т. 1931.) Вал имеет постоянное поперечное сечение и длину Масса еднницы длины равна Вал вращается с угловой скоростью в подшипниках, расположенных на расстоянии 11 друг от друга. Подшипники не влияют на изменение направления оси вала. Вал положен симметрично, так что с каждой стороны от подшипника образуются консоли длины с.

Доказать, что скорости, при которых могут произойти колебания пала, представляют собой корни уравнения:

где

Предполагается, что в средней точке угол наклона вала остается равным нулю.

30. (Camb. М. S. Т. 1930.) Вал постоянного поперечного сечения имеет длину 21, масса единицы длины вала равна Вал вращается с угловой скоростью Концы вала лежат «не абсолютно жестких» подшипниках. Подшипники таковы, что при их повороте на угол в, на концах вала вызываются изгибающие моменты Показать, что если ошибка при центровке на обоих концах

равна то для случая, в котором прогиб в обе стороны от середины вала симметричен, уравнение изогнутой оси вала будет:

где X измеряется от середины вала.