Напряжения в непрерывных материалах

260. Наше предположение о непрерывности материала затрудняет точное формулирование понятий, связанных с тем, что мы называем напряженным состоянием. Рассмотрим стержень, подверженный действию постоянной силы растяжения. Если мы представим себе, что материал имеет молекулярную структуру, то легко понять, что его сопротивление растяжению является суммой сил, вызванных действием каждой отдельной молекулы на окружающие ее молекулы. На любой поверхности, которая, как можно себе представить, разделяет стержень на две части, эти силы в сумме вызывают такое действие одной (любой) части на другую, которое нужно для того, чтобы уравновесить внешние силы.

Рис. 88.

Мы же допускаем, что наш «теоретический» материал — аморфный. В нем нет ничего похожего на отдельную молекулу. Следовательно, нам нужно сформулировать понятие о напряжении так, чтобы его можно было применить к любой сколь угодно малой частице материала.

261. Сначала представим себе, что тяжелый куб А аморфного материала лежит на таком же кубе соприкасающиеся грани кубов расположены горизонтально (рис. 88).

Взаимодействие кубов должно сказываться на поверхности соприкосновения. Очевидно, что В давит на А по направлению вверх с силой, равной весу А, а А давит на В по направлению вниз с равной силой. Представим себе, что каждая элементарная площадка поверхности соприкосновения имеет свою собственную индивидуальную долю в этом взаимодействии. Обозначим какую-нибудь элементарную площадку поверхности соприкосновения через 85, а приходящуюся на нее часть силы — через и скажем, что величина

представляет собой интенсивность напряжения на рассматриваемой элементарной площадке.

Как и в предыдущих главах, мы будем обычно использовать термин напряжение (в ограниченном техническом смысле) вместо термина «интенсивность напряжения», определенного здесь. Заметим, что имеет следующую размерность:

Площадь — скалярная величина; следовательно, напряжение, как и сила, является направленной величиной. Следует подчеркнуть, что представляет собой местную интенсивность взаимодействия, так как в выражении (1) является как действием (по элементарной площадке 85) А на В, так и В на А. Поэтому мы не обязательно должны представлять себе напряжение как векторную величину.

В только что упомянутом случае результирующее взаимодействие кубов А и В. налравлено перпендикулярно их поверхности соприкосновения. Если сила на элементарной площадке поверхности соприкосновения — перпендикулярна (а это не всегда бывает так) самой элементарной площадке то тоже перпендикулярно последней. В этом случае мы назовем усилие на элементарной площадке 85 нормальным напряжением интенсивности

262. Мы рассматривали взаимодействие двух отдельных тел на их поверхности соприкосновения. Действие такого же рода, но имеющее другую величину, очевидно, имеет место на любой другой горизонтальной поверхности, которая разделяет, как можно себе легко представить, куб А или куб В на какие-нибудь две части. Таким образом, наше представление о взаимодействии двух отдельных тел можно распространить на взаимодействие между различными частями одного и того же тела. При этом природа (действительной или

воображаемой) поверхности «раздела», по которой передается напряжение, совершенно безразлична.

Мы можем получить нормальные напряжения, противоположные по знаку только что рассмотренным. Так, например, можно себе представить, что (рис. 88) являются частями некоторого удерживаемого сверху тяжелого стержня. Мы назовем нормальное напряжение растягивающим напряжением, если оно (как в только что приведенном примере) вызвано тем, что нужно сохранить равновесие между двумя стремящимися отделиться друг от друга частями одного и того же тела.

Нормальное напряжение, рассмотренное в § 261, назовем сжимающим напряжением.

263. Напряжение на поверхности соприкосновения или в некотором сечении может лежать в их плоскости. Предположим, что на куб А (рис. 88) действует горизонтальная сила стремящаяся сдвинуть его относительно куба В. Пусть этому движению на поверхности соприкосновения препятствует сила трения. Очевидно, что между кубами на поверхности соприкосновения существует взаимодействие описанного нами типа, т. е. такое, которое мы назвали напряжением. Точно так же, как и раньше, мы видим, что одно и то же результирующее действие будет наблюдаться на любой воображаемой горизонтальной поверхности, лежащей ниже точки приложения и рассекающей куб А или куб В на две части. Обозначим составляющую этого усилия, приходящуюся на элементарную площадку 85, через Заметим, что является горизонтальной силой. Мы скажем, что

представляет собой интенсивность касательного или срезывающего напряжения, возникающего на рассматриваемой элементарной площадке. Очевидно, размерность совпадает с размерностью и поэтому дается соотношениями (2).

264. В общем случае усилие на данной поверхности будет наклонено под некоторым углом к рассматриваемой

поверхности. Часть этого усилия, приходящуюся на какую-нибудь элементарную площадку 85, с помощью методов статики всегда можно разложить на нормальную составляющую и касательную составляющую Тогда напряжение, действующее на этой элементарной площадке, также будет разложено на нормальный компонент для которого мы имеем формулу (1), и касательный компонент для которого мы имеем формулу (3). Затем касательный компонент можно разложить по двум любым параллельным рассматриваемой поверхности направлениям. Таким образом, мы видим, что напряжение, действующее на данной поверхности, будет вполне определено, если мы зададим три величины, а именно его компоненты по трем различным направлениям. Эти три направления могут не быть взаимно перпендикулярными. Зная три компонента напряжения, действующего на рассматриваемой элементарной площадке, мы всегда с помощью параллелограма сил сможем найти результирующее напряжение, действующее на той же элементарной площадке.

266. Выше мы нигде не предполагали, что напряжения, действующие на различных частях данной поверхности, имеют одно и то же направление или одну и ту же величину. Теперь, на основании нашего определения напряжения равенством (1) или равенством (3), мы предположим, что каждое из отношенийистремится к определенному пределу при стремлении к нулю площади элементарной площадки 85. Отсюда следует, что мы не допускаем, что напряжение на данной поверхности может изменяться скачком. Это предположение совместно с аналогичными предположениями теории деформаций (см. гл. IX). Фактически из нашего предположения следует, что на любой достаточно малой поверхности мы можем считать напряжение постоянным. (Это допускалось в главе IV §§ 127— 132.)

Обозначения

266. Постараемся обобщить результат § 130 главы IV. В § 130 были выведены формулы преобразования компонентов

напряжений. Обозначения, которыми мы пользовались до сих пор, недостаточно гибки для того, чтобы их можно было использовать в общем случае. И мы для начала постараемся выработать более удобную схему. Напряженное состояние в какой-нибудь точке тела будет вполне определено, если мы как по направлению, так и по величине зададим напряжения, действующие на всех шести гранях бесконечно малого кубика, вырезанного из тела вблизи этой точки.

Будет крайне удобно, если мы в наших обозначениях как-то выделим различные грани этого кубика. Кроме того, для каждой из граней следует отдельно отметить:

(1) направление самой грани и

(2) направление действующего по ней напряжения.

Рис. 89.

267. Пусть ось (рис. 89) проведена так, что, выходя из начала координат, она пересекает рассматриваемую грань (на рис. заштрихована) под прямым углом. Пусть ось параллельна действующему на этой грани напряжению. Будем употреблять, как обозначение напряжения, символ Это удобно, так как X будет представлять собой напряжение, направление которого параллельно а значок внизу у X будет определять направление той поверхности, по которой действует рассматриваемое напряжение. Напряжение на заштрихованной грани будет вполне определено, если мы дадим некоторое определенное значение. Несколько иначе, вместо того, чтобы задавать результирующее напряжение, мы можем задать значение его компонентов по трем направлениям х, у, z. В соответствии с принятым выше правилом мы должны обозначить эти компоненты через (рис. 89) — индекс у всех трех один и тот же, так или они действуют по одной и той же рассмотренной еще раньше поверхности (заштрихована).

На рис. 89 Оу направлено вертикально вверх. Следовательно, через мы вправе обозначить три компонента того напряжения, которое действует на верхней и нижней гранях, а через компоненты напряжения, действующего на паре оставшихся граней. Итак, для того, чтобы задать напряженное состояние в некоторой точке, мы должны задать девять компонентов напряжения. Величины девяти компонентов напряжения в принятой системе обозначения суть:

268. Следует еще установить определенное правило знаков. Так, мы можем растягивающие напряжения считать положительными, а сжимающие напряжения — отрицательными. Это значит, что будет положительным тогда, когда сила в направлении оси действует на заштрихованной поверхности рисунка 89 со стороны той части тела, которая находится справа от заштрихованной поверхности (не изображена на рис. 89), на часть тела, находящуюся слева от этой поверхности. Последовательность требует, чтобы мы считали положительными напряжениями тогда, когда эти напряжения действуют по направлениям осей на часть тела, находящуюся слева от поверхности, т. е. так, как показано на рисунке.

Таким образом, стрелки на рисунке по направлениям показывают направления сил, действующих в случае положительных на поверхности, перпендикулярной оси со стороны части тела, расположенной по направлению возрастающих х. Напряжение — действие взаимное; следовательно, силы, вызываемые частью тела, расположенной на стороне убывающих х, будут иметь противоположные знаки. На заштрихованной поверхности рисунка 89 положительные напряжения вызывают силы, действующие на кубик по направлениям осей Что касается противоположной грани кубика, то там они бдут вызывать силы, действующие на кубик в противоположных направлениях.

Таким же образом положительные вызывают, если рассматривать верхнюю грань кубика, силы,

действующие на него по направлениям осей так как эти силы являются силами, вызванными действием части тела, расположенной на стороне возрастающих у, на рассматриваемый кубик. Положительные вызывают силы, действующие в тех же направлениях на передней грани кубика, потому что эти силы вызываются действием на кубик той части тела, которая расположена на стороне возрастающих Вся схема ясно показана на рис. 89.

269. Иногда бывает удобно (в частности в тех задачах, которые нужно рассматривать в криволинейных координатах) пользоваться обозначениями К. Пирсона.

Его обозначения записываются так: (например) означают компоненты напряжения, ранее обозначенные через В § 270 будут выведены соотношения (5), заключающиеся в том, что так что порядок букв в этих обозначениях не играет роли.

В литературе, касающейся этого предмета, имеется досадное разнообразие обозначений и названий На континенте и в Америке обычно используют символы для нормальных компонентов напряжения, которые здесь обозначены через а символы для срезывающих или касательных компонентов напряжения, которые здесь обозначены через Такие обозначения неудобны потому, что неизвестно, как следует обозначать напряжения, направления которых являются ни нормальными, ни касательными по отношению к той поверхности, на которой они дгйствуют. Например, нет обозначений для напряжений а они встречаются в теории преобразования компонентов напряжений (§ 272). Наши обозначения в этом отношении весьма удобны. Они были введены Кирхгофом и Лявом