Стойки переменного поперечного сечения

203. Точное определение критической силы (аналитическими методами) может стать непрактичным, когда жесткость при изгибе изменяется по длине стойки. В этом случае в основном уравнении (13) не является постоянной величиной. Тогда мы можем воспользоваться графическими методами, основанными (как и методы §§ 182—184) на веревочной аналогии. Ниже мы будем рассматривать стержни, оба конца которых «просто оперты». Стержни с другими условиями в опорах мы сможем рассматривать после незначительного изменения излагаемого метода.

Основное уравнение, написанное в форме

показывает, что: (а) возрастание увеличивает кривизну по отношению к прогибу и заставляет поэтому деформированную ось стержня, если начать с определенного угла наклона в точке опоры, изгибаться так, что она вновь пересекает линию действия силы сжатия, но уже при меньшем значении величина начального угла наклона не имеет значения, так как основное уравнение определяет не величину прогиба у, а только его распределение; (с) изменение угла наклона между сечениями мало), равное с точностью до первой степени (по формуле Тейлора), в силу основного уравнения, при той же степени точности, равно

Построим многоугольник фиктивных сил (для каждого участка длины) так, чтобы полярное расстояние представляло «силу» 5, а вертикальный отрезок длины изображал (в том же масштабе) «силу» , являющуюся результирующей силой на соответствующем элементе длины Тогда соответствующий веревочный многоугольник будет довольно близким к кривой прогиба, наблюдаемой при принятой величине Условию шарнирного закрепления на конце (с него мы начинали) мы можем удовлетворить.

Если окажется, что у обращается в нуль точно при но не раньше, то нами построена первая «форма продольного прогиба» (§ 198), а принятая величина является первой «критической силой». При первой попытке этот результат может получиться только случайно, однако, согласно (а) (см. выше), увеличивая иди уменьшая силу мы можем заставить кривую прогиба пересечь линию действия силы сжатия ближе или дальше полученной точки. Таким образом мы будем знать, как следует изменить наше предположение для второй попытки. Поступая так и изображая на графике при каждой попытке значение у на конце, соответствующее принятому мы можем построить «кривую ошибок». С помощью этой кривой легко получить то значение которое обращает у в нуль на другом конце стержня.

204. Нами изложены основные принципы метода. Остается описать практическое применение. Во-первых, мы сведем основное уравнение к «безразмерной» форме, как и в § 187.

Для этого заменим независимую величину на обозначает длину стержня. Мы имеем;

Во-вторых, если В задано по всей длине стержня, то мы можем выразить ее в форме

где значение В в некотором частном (например,

среднем) сечении, а F - некоторая заданная функция от z. В-третьих, мы положим:

т. е. сведем нашу задачу к определению постоянной Итак, имеем уравнение:

Уравнение имеет прежнюю форму, но теперь оно применимо ко всему семейству стоек, так как не зависит от В и 1.

Покажем, как может быть получено пробное решение. Разделим весь интервал (т. е. интервал от 0 до 1) на некоторое число равных частей и в качестве поперечной нагрузки на какой-нибудь из его частей возьмем величину В этой величине известно, а X полагается равным выбранному значению. Соответствующее полярное расстояние должно представлять собой «силу» величины известную в каждом сечении. Поступая, как было указано выше, мы можем заставить веревочную кривую пересечь ось раньше или позже, в зависимости от того, увеличим мы или уменьшим принятое значение Для того чтобы зафиксировать X при помощи известного значения у на конце, мы можем вычертить «кривую ошибок». Ясно, что будет сэкономлено много труда, если при первом пробном решении будет взято достаточно правильное значение Например, можно вычислить среднее значение В (при этом следует обратить внимание на то, что наибольший прогиб произойдет там, где велико), далее определить критическую силу для стойки постоянного поперечного сечения с жесткостью при изгибе, равной среднему вычисленному значению В. Значение этой критической силы будет Как первое приближение X можно взять значение, определяемое уравнением:

Более точные методы, касающиеся стержней с переменным сечением, описаны в книге «Relaxation Methods», гл. XI.