Кручение круглых валов

159. Предыдущее исследование касалось тонкостенных круглых труб. Однако без большого труда можно показать, что полученные результаты могут быть распространены как на толстостенные круглые трубы, так и на сплошные

круглые валы. Мы видели в нашем решении размеры тонкостенной трубы не изменяются и что ее поверхности свободны от напряжений. Следовательно, если мы составим толстостенный или сплошной круглый вал, собрав вместе много тонкостенных труб, имеющих один и тот же угол закручивания на единицу длины то трубы все время будут прилегать друг к другу, и первоначально соприкасающиеся точки прилегающих труб останутся в соприкосновении после того, как произойдет деформация. Совсем не важно, были или нет первоначально скреплены вместе составные трубы.

Для того чтобы могло иметь одно и то же значение в каждой из составляющих труб, должно быть, как и раньше, связано с радиусом трубы уравнением

Тогда выражение

остается верным для каждой трубы. Равным образом это сохраняется и для вала (так как полярные моменты инерции различных труб складываются). При этом вал может быть и полым и сплошным. J должен теперь быть моментом инерции всего поперечного сечения), а - общим приложенным к нему крутящим моментом. И тогда из (7) и (8) мы имеем:

т. е. то же, что и раньше, а полная упругая энергия, запасенная единицей длины вала, будет опять определяться формулой

Мы заметим, что единственной упругой постоянной, входящей в наще рещение, является С. Поэтому с помощью эксперимента на кручение цилиндрического образца можно весьма просто определить модуль сдвига.

160. Изучая наще рещение, мы видим, что оно предполагает специальное распределение касательных напряжений на торцевых сечениях стержня или трубы. В практике, когда круглый стержень (как например, вал винта парохода) передает крутящий момент от одного конца другому или когда образец подвергается испытанию на кручение, с целью определения С, нагрузка прикладывается не в виде касательного напряжения на торцах, а каким-нибудь иным способом на частях цилиндрических поверхностей, близких к концам. Но несмотря на то, что наше решение не отражает действительного состояния в областях, непосредственно примыкающих к нагруженным концам, мы, как и раньше (на основании принципа Сен-Венана), можем утверждать, что оно будет приближаться к действительному состоянию в центральной части вала или образца, если их цилиндрическая поверхность вдали от концов свободна от нагрузки.

В нашем решении касательное напряжение в какой-нибудь точке поперечного сечения имеет направление, перпендикулярное радиусу, проходящему через эту точку, и величину, пропорциональную радиальному расстоянию от оси. Сначала считали, что такое же распределение напряжений получается и тогда, когда поперечное сечение стержня (или трубы) некруговое. Этот вывод, однако, противоречит теореме, установленной в § 129, главы IV, которая говорит, что касательное напряжение не может иметь компонента, перпендикулярного свободной от нагрузки поверхности тела. Согласно этой теореме, во всех точках контура поперечного сечения должно быть направлено вдоль контура. Отсюда ясно, что не может иметь направление, которое во всех точках перпендикулярно радиусу, если контур не является окружностью. Следовательно, наше решение применимо только к сплошным или полым круглым стержням. Другие

формы поперечного сечения требуют специального решения, и будут рассмотрены в главе XI.

Значение этого ограничения можно видеть на примере прямоугольного поперечного сечения (рис. 48). Если решение предыдущих параграфов применить к этому случаю, то мы получим, что касательное напряжение будет иметь максимальную величину в угловых точках, где наибольшее. Теорема же, на которую мы ссылались, показывает, что в какой-нибудь точке на стороне касательное напряжение может иметь компонента, перпендикулярного а в какой-нибудь точке на стороне касательное напряжение не может иметь компонента, перпендикулярного Отсюда, в угловой точке поперечного сечения (которая принадлежит обеим сторонам), напряжение не может иметь компонентов ни в том, ни в другом направлении и таким образом обращается в нуль вместо того, чтобы достигать максимального значения.

Рис. 48

Примеры

(Для стали берем кг/см.)

9. (Oxford F. Е. Е. S. 1933.) Полый стальной вал длины 183 см должен передать крутящий момент в Найти наружный и внутренний диаметры вала, если угол кручения не должен превышать 2°, а касательные напряжения не должны превышать 703 кг/см.

10. (Camb. М. S. Т. 1932.) Полый круглый вал с внешним диаметром и внутренним диаметром должен передавать крутящий момент в вместе с осевой силой растяжения в Касательное напряжение в валу не должно превосходить Составить уравнение для определения и показать, что оно приближенно удовлетворяется при .

[В соответствии с (35) главы IV заданное условие требует, чтобы где диаметр в сантиметрах) и (наибольшее касательное напряжение от крутящего момента), равное

Отсюда мы получим условие

11. (Oxford F.E.E.S. 1934.) Сплошной стальной вал предназначается для передачи при 90 об/мин. При испытании материала на растяжение металл достиг предела текучести при напряжении 3940 кг/см. Найти необходимый диаметр вала из условия, что упругая энергия, запасенная в материале вала (на единицу объема), нигде не превосходит половины той, которая была бы запасена при пределе текучести в случае простого растяжения. [13,36 см.]