Метод «релаксации»
106. Рассмотрим ферму, состоящую из упругих стержней, соединенных шарнирами без трения. Предположим, что в каком-нибудь одном или во всех узлах мы можем ввести жесткие связи, так что поступательное движение узла станет невозможным, а концы стержней смогут свободно поворачиваться. Предположим сначала, что таким образом закреплены все узлы. Приложим заданные внешние силы. Связи жестки, и, следовательно, каждый из узлов удерживает всю силу.
Затем предположим, что одна из связей освобождается, т. е. один из узлов может медленно перемещаться на заданную величину в некотором заданном направлении. Теперь сила будет передаваться со связи на ферму. В ферме запасается упругая энергия. Если сначала сила в связи имела составляющую в направлении перемещения, то связь будет разгружаться (относительно этой составляющей), т. е. полная потенциальная энергия системы уменьшится. Если перемещается только один узел фермы, то можно найти ту часть силы, которая передается в результате заданного перемещения. Таким образом, мы можем подобрать перемещение так, чтобы связь разгрузилась на нужную нам величину.
Эту первую связь в новом положении жестко закрепим, а некоторые другие связи ослабим. Точно так же, как и раньше, мы можем установить факт разгрузки силы по второй связи и уменьшения полной потенциальной энергии системы на большую, чем при ослаблении только первой связи, величину. Поступая так же дальше, мы будем постепенно уменьшать
величину полной потенциальной энергии. Уменьшение потенциальной энергии будет ощутимо на каждой ступени процесса, если только сила при этом будет разгружаться на заметную величину.
107. Метод, известный как метод «релаксации», точно следует в вычислениях за каждым шагом только что описанного физического процесса. Подробное изложение этого метода содержится в книге автора «Relaxation Methods in Engineering Science» Успех метода объясняется тем фактом, что ограниченная свобода, допускаемая при каком-нибудь одном «ослаблении», позволяет легко и точно определить распределение сил между узлами. Предварительные вычисления, по необходимости многочисленные, но крайне простые, дают нам возможность оперировать с любой заданной системой сил при помощи такого рода метода, в котором на каждой стадии расчета мы стараемся распределить или «ликвидировать» наибольшую силу, приходящуюся на какую-нибудь одну из связей. Внешние силы находятся в равновесии, и, следовательно, в процессе проведения метода они имеют тенденцию встретиться и уничтожить друг друга. Таким образом, по мере продвижения расчета «неликвидированные» силы стремятся уменьшиться. Когда все силы станут настолько малы, что практически не будут иметь значения, расчет можно будет прекратить.
108. Для того чтобы ускорить степень приближения к требуемому результату, можно использовать специальные приемы. Подобные же методы можно употреблять при расчете ферм, узлы которых имеют заметную жесткость и точное решение которых весьма трудно. Пользуясь «методом релаксации», мы часто, без серьезного ущерба для точности, можем иметь дело отдельно с «первичными напряжениями» (т. е. усилиями, которые приходятся на стержни, если все узлы шарнирные) и с «вторичными напряжениями» (т. е. дополнительными напряжениями от изгиба вследствие жесткости узлов).
