Действие осевого момента

248. Если а не мало, то осевая сила вместе с удлинением пружины вызовет поворот свободного конца пружины. Вычислим его, а для этого представим себе, что вместе с действует момент вектор которого параллелен оси пружины.

Так же, как в § 245, разложим момент на составляющие из которых первая стремится закрутить проволоку, а вторая изогнуть ее. Возьмем для пружины правую винтовую линию, а для на свободном конце, если вектор этого момента направлен по направление против часовой стрелки. Мы видим, что результирующий изгибающий момент в любом сечении пружины стремится уменьшить радиус витка] величина этого момента:

Результирующий крутящий момент такого знака, что вызывает удлинение пружины, величина крутящего момента:

Полная упругая энергия равняется:

или если, как раньше, мы подставим значения С и

Отсюда, как обычно, можно получить, что

Если через 6 обозначить угол поворота свободного конца в направлении, соответствующем то мы получим:

Если пружина имеет витков, то ее развернутая длина равна:

Если приравнять нулю, то мы из (58) и (59) получим удлинение и поворот в случае действия только одной силы Поворот будет пропорционален Отсюда следует, что поворот достигает наибольшего значения при Если 6 приравнять нулю, то из (59) можно получить величину того момента, который, действуя на пружину, не будет вызывать поворота. Удлинение, вызываемое в этом случае силой можно получить из формулы (58).

Примеры

5. (Oxford F. Е. Е. S. 1932.) Имеем цилиндрическую, плотно намотанную, сделанную из стальной проволоки диаметра 0,635 см, пружину. Пружина имеет 20 витков, средний диаметр витков 5,08 Какую величину должна иметь нагрузка для того, чтобы растянуть пружину на 2,54 см") Найти максимальное допустимое удлинение, при том условии, что касательное напряжение не должно превосходить (взять С равным см.]

6. (Camb. М. S.T. 1930.) Средний диаметр витков цилиндрической буферной пружины равен 20,32 см. Пружина должна быть спроектирована так, чтобы при сжатии ее на 5,08 см она поглощала бы энергию в 10340 кгсм. Касательное напряжение должно быть не больше 1575 кг/см. Предполагая, что круглый стержень, из которого сделана пружина, подвергается чистому кручению, показать, что его диаметр должен быть чуть больше 5,08 см. Пусть С для материала, из которого сделана пружина, равен Показать, что число витков пружины должно равняться примерно 11.

7. (Oxford F. Е. Е. S. 1931.) Плотно навитая цилиндрическая пружина проектируется так, чтобы она оказывала силу в на 1 см укорочения и могла бы сократиться на 3,81 см, когда виткн приведены в соприкосновение друг с другом. Максимальное касательное напряжение, которое возникнет при этом, должно быть не больше чем 1406 кг/см. Средний диаметр витка 5,08 см. Найти необходимые диаметр проволоки, число витков, шаг витков и свободную длину пружины [0,635 см; 17,3; 0,863 см; 14,75 см.]

8. (Oxford F. Е. Е. S. 1933.) Цилиндрическая пружина работает на сжатие, ее длина в свободном состоянии равна а диаметр витка Пружина сделана из стальной проволоки диаметра шаг витков мал. Показать, что диаметр должен быть не меньше величины, определяемой из соотношения

где С — модуль сдвига для стали для того, чтобы пружина могла бы запасти количество энергии, равное в том случае, когда она сжата почти до соприкосновения витков, а напряжение в стали не превосходит величины

9. (Camb. М. S. Т. 1932). Пружина (см. рисунок) из тонкой проволоки диаметра навита в форме двойного кругового конуса. Число витков равно Витки одинаково удалены друг от друга по образующим обоих конусов. Расстояние витков от оси пружины равно в середине и на концах, длина пружины по оси Длины и малы по сравнению с

Составив выражение упругой энергии, показать, что удлинение, вызванное действием малой осевой силы, во втором приближении равно:

соответственно модуль Юнга и модуль сдвига.

Удлинениями от непосредственного действия силы растяжения перерезывающей силы можно пренебречь.

[Пусть в каждой из половин пружины х обозначает расстояние от вершины конуса, измеряемое по образующей конуса-пружины, тогда

где а — половина угла раствора конуса. Через обозначим элемент длины витка проволоки. Через обозначим перемещение одного конца элемента по отношению к другому его концу измеряется по образующей). Таким образом, крутящий и изгибающий моменты, приходящиеся на элемент пружины, вследствие действия силы будут:

Упругая энергия каждой половины пружины равна:

Отсюда можно найти полное удлинение всей пружины, оно равно:

Все интегралы распространены на длину половины пружины. Рассмотрим пружину в плане.

Через в обозначим азимут некоторого сечения. Очевидно, мы имеем:

где угол, определяемый формулой (II). Если форма пружины такова, что некоторому увеличению соответствует равное увеличение в, то из (II) и (IV) мы получим:

Используя эти равенства, формулу (III) можно записать так:

Второй сомножитель, стоящий под интегралом, можно разложить в ряд по формуле бинома. Мы получим второе приближение, если пренебрежем членами четвертой степени относительно (малыми по условию задачи). Итак мы имеем:

так как

A это есть приведенный выше ответ.]