Разложение любого напряженного состояния на равномерное растягивающее и касательные напряжения

284. Мы показали, что если подходящим образом изменить оси, то любое напряженное состояние можно характеризовать тремя главными напряжениями

Очевидны следующие равенства;

Из них видно, что любое напряженное состояние может рассматриваться как наложение четырех различных напряженных состояний. В первом из этих напряженных состояний значения всех трех главных напряжений одинаковы и равны величине;

где является средним нормальным напряжением в рассматриваемой точке. В § 275 мы показали, что величина

инвариантна по отношению к ортогональному преобразованию координат. В нашем случае эта величина равна

Компоненты напряжения в других составляющих напряженных состояниях имеют похожий друг на друга вид. Например, в первом из них главные напряжения будут:

так что среднее нормальное напряжение равно нулю. Из вывода § 283 следует, что максимальная интенсивность касательного напряжения равна Далее, из упомянутого параграфа следует, что касательное напряжение достигает своего максимального значения на плоскостях, которые делят пополам угол, образованный главными плоскостями ненулевых главных напряжений. Легко показать, что нормальный компонент напряжения на таких плоскостях равен нулю. Следовательно, напряженное состояние (III) можно считать касательным напряжением интенсивности Аналогично два другие составляющие напряженные состояния являются касательными напряжениями интенсивности

Упругие энергии напряженных состояний последнего типа складывать нельзя (§ 33) по той причине, что два из них совершают работу на деформациях, вызванных каким-нибудь одним. Удельная упругая энергия деформации (§ 116) сложного напряженного состояния выражается равенством (17) главы IV.

Пример

3. (Camb. М. S. Т. 1931.) Изотропный, однородный материал, подчиняющийся закону Гука, нагружен так, что главные напряжения равны

Доказать, что удельная упругая энергия деформации материала равна

где К — объемный модуль сжатия, модуль сдвига.