Обобщение метода Рэлея

518. Соотношение (33) для стержня с шарнирно закрепленными концами после подстановки в него будет иметь простой вид. Однако соответствующее ему в случае заделанных концов соотношение (34) будет весьма сложным, несмотря на то, что оно также относится к наиболее простому случаю равномерно распределенной массы, постоянной силы растяжения и постоянной жесткости при изгибе. Очевидно, что нужна более простая теория. Она особенно необходима в тех задачах, где, как и в этом примере, восстанавливающие силы принадлежат двум различным группам.

К счастью, на такие задачи распространяется метод Рэлея. С помощью энергетических соображений (см. § 509) мы всегда можем составить для выражение типа (17). Числитель этого выражения будет представлять собой интеграл, выражающий потенциальную энергию деформации, а знаменатель— интеграл, выражающий кинетическую энергию. Таким образом, для только что рассмотренной задачи, независимо от того, постоянны или переменны мы, умножив уравнение (27) на и проинтегрировав, получим:

Доказательство, аналогичное прежним, показывает, что из этого выражения, подставив в него подходящим образом

выбранную форму колебаний, можно получить или точное значение основной частоты или ее оценку, превышающую точное значение.

519. Кроме того, в задачах подобного рода можно пойти дальше и получить для величины как верхний, так и нижний пределы. Истинное распределение в общем случае определяется двумя факторами: влиянием жесткости при изгибе и растяжением. Если учесть только жесткость при изгибе и обозначить в этом случае форму через то основная частота определится следующим соотношением:

Если учесть только растяжение, то У, вообще говоря, будет иметь другую форму и основная частота определится соотношением

По методу Рэлея мы получим для оценку, превышающую истинную частоту, если в (37) подставим некоторую, отличающуюся от точной форму и для оценку, превышающую истинную частоту, если в (38) подставим некоторую отличающуюся от точной форму Поэтому, если представляет собой истинную форму для того случая, в котором действуют оба типа восстанавливающих сил, то мы имеем два неравенства;

из которых на основании (36) имеем

520. Аналогичное неравенство имеет место во всякой другой задаче подобного рода Этот результат очень важен, потому что нам часто приходится иметь дело с основным уравнением, в котором мы пренебрегли той или другой из систем восстанавливающих сил. Так, выше мы видели, что уравнение (27), вообще говоря, дает очень сложные соотнощения и вместе с тем оно просто интегрируется, когда или В или равны нулю. Если мы сможем решить упрощенные уравнения, то мы сможем получить значения для обоих членов правой части неравенства (40), т. е. сможем определить нижний предел для величины Ее верхний предел можно найти обычным путем (ср. § 518). Таким образом мы получаем все необходимые нам сведения.

Например, в главе VI мы рассмотрели поперечные колебания в стержне с постоянным поперечным сечением, оба конца которого заделаны, и получили равенства (39) и (41). Основная частота колебаний определялась из соотношения

в котором

Таким образом мы имеем

в § 512 этой главы мы рассмотрели случай, в котором В было равно нулю, постоянны. Равенство (24) показывает, что

Теперь рассмотрим задачу о стержне постоянного поперечного сечения с двумя заделанными концами и подверженного действию силы растяжения

Согласно неравенству (40), в силу (I) и (II) имеем;

Кроме того, если мы примем, что

и подставим эту форму в (36), то для частоты получим оценку, превышающую ее истинное значение. Оценив интегралы, мы получим:

Подсчитаем числовые коэффициенты неравенства (41):

Итак, мы видим, что неравенства (41) и (42) дают для достаточно узкие, с практической точки зрения, пределы.

Пример

8. Тем же способом показать, что в задаче, помещенной в § 517, получено точное выражение Объяснить это.