Напряжения, являющиеся следствием неравномерного нагрева

362. Задача, аналогичная предыдущей, возникает тогда, когда температура тела является заданной функцией только теперь при решении задачи нужно будет учитывать условия на двух поверхностях. В §§ 324—326 главы X было показано, что смещения по отношению к некоторой «данной конфигурации» с постоянной температурой можно найти из обычных уравнений теории упругости, если мы введем «фиктивные» объемные силы и поверхностные давления, которые можно вычислить, когда известно превышение температуры 6 над данной.

Рассмотрим случай сферической оболочки, внутренний радиус которой равен а, а внешний Пусть напряжения в оболочке возникают только вследствие не меняющейся со временем разницы температур между внутренней и внешней поверхностями оболочки. Влияние поверхностных давлений, если они действуют, можно будет найти из формул § 359 и добавить к тому решению, которое мы сейчас получим. Повышение температуры всего тела на некоторую постоянную величину не влияет на напряжения, поэтому можно считать температуру на внешней поверхности равной некоторой определенной величине, например, нулю. Тогда 6 будет равна нулю при и заданной величине при

363. Распределение 6 по радиусу оболочки определим из законов теплопроводности. Полный поток тепла через любую сферическую поверхность не зависит от ее радиуса, и мы при предположении о постоянной теплопроводности имеем:

Отсюда находим зависимость 6 от расстояния

где и — произвольные постоянные. Из граничных условий, установленных в § 362, мы получим, что

Распределение по радиусу оболочки теперь найдено.

Согласно §§ 325—326, для решения задачи мы должны ввести объемную силу являющуюся градиентом потенциала 6, где

температурный коэффициент линейного расширения. Таким образом мы имеем:

Уравнение (41), в котором нужно опустить член с ускорением, можно написать в форме:

364. Это уравнение имеет следующее частное решение:

Полученную постоянную следует добавить к общему решению однородного уравнения, т. е. к интегралу (43). После этого мы получим:

Как и раньше, произвольные постоянные.

На граничных поверхностях напряжения не действуют, и поэтому граничные условия, согласно § 326, имеют форму

Они должны выполняться при и при С помощью (V) мы получим:

откуда найдем, что:

365. Уравнения (V) и (VIII) дают полное решение нашей задачи. Напряжения, согласно уравнениям (II), § 324, можно найти из формул:

и

Напряжение обращается в нуль на обеих граничных поверхностях и не может быть большим, поэтому интересно определить только С помощью (VIII) и мы получим:

и при

в этих формулах является постоянной разностью температур между внутренней и внешней поверхностями оболочки. Заметим, что внутренние слои испытывают «кольцевое сжатие», а внешние «кольцевое растяжение», если положительно, и наоборот, если отрицательно.

Примеры

5. (Oxford F. Е. Е. S. 1932.) Температура в толстостенной сферической оболочке с внутренним радиусом а и внешним радиусом изменяется по ее толщине. На радиусе температура на 8 градусов Превосходит общую данную температуру. Температурный коэффициент линейного расширения псюду один и тот же.

Получить урапмение:

определяющее радиальное смещение в точке, которая, когда вся оболочка Имеет одну и ту же данную температуру, лежит на радиусе

(Соотношение между получено в § 324. Соотношения между упругими постоянными можно найти

1933.) Имеем сплошной стальной шар с диаметром 15,25 см. Шар охлажден в жидком водороде до постоянной температуры и находится в ненапряженном состоянии. Затем он погружен в ванну с расплавленным оловом. Через некоторое время температуру шара можно принять равной —253°С на участке от центра до радиуса равного 2,54 см и 232°С на участке от этого радиуса до наружной поверхности. Допустим, что сталь не теряет упругих свойств. Показать, что в рассматриваемый момент холодная часть сферы подвержена «гидростатическому растягивающему напряжению» (т. е. растяжению, имеюпему одинаковую интенсивность во всех направлениях), величина которого приближенно равна 10 395 кг/см.

[Для стали ; температурный коэффициент линейного расширения на