Использование «веревочной» аналогии

185. Полное представление о графическом методе можно получить только тогда, когда собственными руками проделаешь построение на чертежной доске. Веревочную аналогию, т. е. соответствие по форме между уравнениями (5) и (8), можно использовать при решении некоторых типов задач, не проводя графических построений.

Рис. 58.

Для примера возьмем балку постоянного поперечного сечения, нагруженную в центре сосредоточенной силой (рис. 58). Эпюра изгибающего момента имеет вид треугольника, с максимальным значением

В постоянна. Полная «фиктивная сила» на каждой половине участка равна

Линия действия ее результирующей, как показано на рисунке, находится на расстоянии от ближайшей опоры.

Следовательно, тангенс угла наклона касательной на концах к кривой прогибав натуральную величину будет даваться формулой:

Максимальный прогиб (в середине пролета) будет

Эти результаты были уже получены другим методом в главе II (пример 4).

Настоящий вывод требует, чтобы направления касательных к веревочной кривой в точках и с (рис. 58) были известны. Эти точки соответствуют концам элементов длины, на которые разбита эпюра фиктивной нагрузки. Из статических соображений мы знаем, что эти направления должны пересекаться на линиях действия результирующих тех нагрузок, которые распределены на этих элементах длины. Метод можно применять в любом из тех случаев, когда эпюру изгибающего момента можно разделить на участки, центры тяжести которых известны.

Используя тот же рис. 58, мы можем вычислить прогиб у на каком-нибудь расстоянии от левой опоры, если только мы заметим, что фиктивные реакции на этом конце равны фиктивной нагрузке на половине пролета, т. е. равны Вся сила от фиктивной нагрузки между а к х равна результирующая проходит через точку —

Фиктивный изгибающий момент (т. е. прогиб) на расстоянии х от левой опоры будет:

Примеры

1. (Oxford F. E. E. S. 1934.) Балка постоянного поперечного сечения и длины I опирается в точках, удаленных от каждого из концов на расстояние — Балка подвержена действию равномерно

распределенной нагрузки Использовав веревочную аналогию, показать, что концы балки наклоняются вниз под углом

Эпюры для равномерной нагрузки и для реакций в опорах изображены на чертеже отдельно (чертеж относится к половине балки). Каждая из реакций равна и дает треугольную эпюру с высотой в среднем сечении — и полной площадью

Поперечная нагрузка дает параболическую эпюру, имеющую в среднем сечении ту же высоту и полную площадь — Центр тяжести этой эпюры находится на расстоянии I от среднего сечения.

Рассматривая результирующую каждой эпюры как отдельную силу и вспоминая, что кривая прогиба должна иметь нулевой угол наклона в среднем сечении, мы получим веревочную кривую Известно, что кривая прогиба должна касаться ее в точках На диаграмме в натуральную величину угол наклона участка равен а изменение угла наклона в точке равно т. е. угол наклона, измеряемый вниз в точке будет

2. (Oxford F.E.E.S. 1933.) Горизонтальная консоль имеет постоянную жесткость при изгибе. Один конец консоли заделан, а на другом приложена сосредоточенная сила. Использовав веревочную аналогию, показать, что угол наклона и прогиб на нагруженном конце связаны уравнением

2. Использовав веревочный многоугольник, получить следующие соотношения [необходимые для применения «метода релаксации» к неразрезным балкам (Rel. М., § 24 )]:

рис.) являются перерезывающей силой и изгибающим моментом, необходимыми для того, чтобы вызвать прогиб 8 и поворот на конце первоначально прямой балки от (имеющей постоянную жесткость при изгибе В), когда другой конец балки/защемлен.