Обоснование нашей формулы изгиба и т. д.

95. Возвратимся к доказательству § 93. Рассмотрим балку постоянного поперечного сечения, сделанную из однородного материала. В этом случае условия для деформации, соответствующей минимальному значению упругой энергии, одинаковы для всех элементов длины ненагруженной части балки.

А поэтому мы можем ожидать, что усилия во всех сечениях средней части балки будут одинаковы по величине и по распределению, т. е. по длине этой части балки будет равномерное распределение усилий. Наоборот, предполагая, что деформации от части к части не меняются, мы получнм некоторые стандартные типы деформаций. Все частные типы деформаций, по мере того как мы отходим от областей, в которых приложены внешние силы, приближаются к стандартным. Это и есть предположение Сен-Венана, сделанное им в его знаменитом исследовании изгиба и кручения в применении к стержню постоянного поперечного сечения.

Для упругой энергии растяжения и изгиба это предположение дает те выражения, которые мы использовали в главе II. Предшествующие рассуждения показывают, что в действительности это больше чем только упрощающее допущение. Любая приближенная формула, которой пользуются в общих случаях в качестве зависимости между изгибающим моментом и получающейся кривизной, должна удовлетворять условию минимума упругой энергии, потому что, как мы видели (§ 92), это условие выражает определенную физическую тенденцию упругих материалов. Наши формулы для растяжения и изгиба удовлетворяют этому требованию.

Пример

12. (Oxford F. Е. Е. S. 1934.) Плоская ферма, имеющая форму правильного многоугольника с сторонами, связана радиальными стержнями. Радиальные стержни соединяют центр с каждым из узлов. Все стержни, являющиеся сторонами многоугольника, имеют площадь поперечного сечения все радиальные стержни — А. Величины модулей Юнга материалов, из которых сделаны

стержнистороны многоугольника и радиальные стержни, соответственно равны Какова степень статической неопределимости фермы?

Показать, что когда в углах многоугольника приложены радиальные снлы, величины которых (взятые в порядке следования по периметру многоугольника) равны

где — целое число, большее О и меньшее стержни, которые являются сторонами многоугольника, не будут напряжены, если ферма не имела начальных напряжений. Рассмотреть также случай Далее показать, что в отсутствии начальных напряжений при четном, радиальные стержни не будут напряжены, если снлы, направленные перпендикулярно раднусу и приложенные в узлах, имеют величины (узлы взяты в порядке следования по периметру многоугольника).

Вычислить относительные удлинения радиальных стержней и стержней, образующих стороны многоугольника, под действием данных выше двух систем нагрузок [степень статической неопределимости равна 1, так как ферма станет «простой», если мы удалим один из стержней, являющийся стороной многоугольника. Начальные напряжения в каждом стержне - стороне многоугольника вызовут одинаковые силы растяжения].