Коэффициенты растяжения

102. Процесс вычисления можно значительно упростить, если вместо результирующих усилий в стержнях ввести

в уравнения коэффициенты растяжения. Коэффициент растяжения любого стержня определяется как результирующее усилие в этом стержне, разделенное на его длину Предположим, что рассматриваемый стержень соединяет два узла А и В. Декартовы координаты узлов обозначим через

Составляющая вдоль оси х силы, приложенной в узле очевидно, будет

Последнее равенство имеет место в силу определения коэффициентов растяжения.

Сила, действующая на узел В в том же направлении оси X, будет

скалярная величина. Как легко видеть по двум полученным равенствам, мы ввели обозначение, которое не противоречит самому себе. Если - узлы, связанные с А стержнями, то условие равновесия А запишется:

и два аналогичных уравнения для проекций на оси Через обозначены составляющие внешней силы, приложенной в А.

Уравнения такого типа можно очень легко написать для каждого из узлов данной фермы. Пользоваться декартовыми координатами удобно, потому что величины можно легко снять с обычного чертежа.

После того как уравнения написаны, задача становится чисто алгебраической. Надо решать систему не более чем трех линейных уравнений. Для того чтобы можно было получить коэффициенты растяжения из сил растяжения, или наоборот, мы

должны знать действительные длины стержней. Очевидно, что, например, длина стержня выразится через декартовы координаты узлов следующим образом:

Пример

14. (Camb. M.S.T. 1931) Рис. 34 в общих чертах воспроизводит конструкцию экскаватора. Основание, имеющее форму круга может с помощью шестерни и рейки поворачиваться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр круга А. Цепь поднимающая ковш, проходит через точку и через свободно вращающийся блок, помещенный в Диаметр основания Точка находится на вертикали над А. Направление отвесно. В заданных условиях ковш в таком положении, что часть цепи наклоненная к вертикали, пересекает горизонтальную плоскость в точке на расстояниях соответственно от прямых и Сила растяжения в цепи всюду Найти силы в стержнях конструкции и крутящий момент в основании Диамстрэм блока в можно пренебречь.

Рис. 34.

[Начало координат поместим в А. Ось проведем в направлении ось в направлении Ось —вверх по вертикали (т. е. параллельно направлению Взяв в качестве единицы длины дециметр, мы имеем:

Части и цепи можно рассматривать как стержни, растягиваемые силой в Воспользовавшись (21), мы получим

так что

Теперь для узла мы можем записать три уравнения типа (20). Стержни, соединенные в суть и так что мы имеем первое уравнение

или

Аналогично получаются два другие уравнения. Они суть:

Из найдем, что

а из (IV) и второго (V) мы получаем

откуда, воспользовавшись (VI),

Наконец, из (IV)

Теперь мы можем записать уравнения для узла известно

и эти уравнения будут системой трех уравнений с тремя неизвестными. Из них мы найдем:

Выражения (VI) - (IX) дают коэффициенты растяжения всех стержней. Из уравнений типа (21) мы получим, что

Теперь силы, возникшие в стержнях, имеют (приближенно) следующие значения:

Далее нужно найти крутящий момент, действующий в основании. Мы заметим, что при этом мы должны рассматривать как внешнюю только силу растяжения в потому что проходит через центр А круга-основания. Составляющие этой силы не дают крутящего момента, потому что лежит в плоскости Составляющая по оси X силы растяжения в будет:

Она действует на плече в Итак, крутящий момент, действующий в основании, равен: