Смещения, соответствующие заданной деформации

311. Мы имеем тождества (12) и нам, следовательно, в каждом случае не нужно вычислять компоненты смещения, соответствующие найденной системе компонентов деформации, т. е. вычислять из выражений

Однако иногда встречаются случаи, в которых нам нужно знать Тогда, интегрируя, например, первое из равенств (13), для и получим выражение следующего вида: (а) частное решение первого уравнения (13) плюс дополнительное решение, являющееся произвольной функцией у к Вторая группа условий (13) будет служить для определения вида функций, входящих в дополнительное решение Легко видеть, что дающие дополнительные решения (Ь), должны удовлетворять таким условиям:

Если мы продифференцируем левые части этих шести уравнений по то мы получим восемнадцать однородных линейных уравнений между восемнадцатью вторыми производными и, Откуда следует, что все вторые производные по отдельности должны обращаться в нуль. Таким образом, дополнительные решения являются линейными функциями т. е.

Дальнейшие условия для определения дополнительных решений типа (Ь) мы получим, если подставим (15) в (14). Из них видно, что дополнительные решения должны иметь такой вид:

Очевидно, что эти формулы дают малое поступательное смещение вместе с малым вращением, компоненты которого, согласно (11), суть но

откуда следует, что компоненты вращения постоянны. Итак, дополнительные решения представляют собой смещения, которые могут произойти в абсолютно твердом теле, а поэтому они несущественны при вычислении напряжений.