Напряжение в длинном цилиндрическом вале (или трубе), вращающемся с постоянной угловой скоростью

436. В практике мы сталкиваемся с массовыми силами, обладающими симметрией относительно оси вала тогда, когда эти силы возникают в результате вращения вала Если вал (или труба) вращается с постоянной угловой скоростью то ускорение точки на расстоянии от оси будет иметь величину и будет направлено по радиусу к оси. Следовательно, сила инерции будет направлена от оси, и мы можем написать, что:

Потенциал этих сил:

Подставив его в формулы (58) и обозначив через А к В постоянные интегрирования, получим:

Из третьей формулы (54) имеем:

где через обозначена постоянная продольная деформация.

Заметим, что нельзя сделать так, чтобы для каждого значения обращалось в нуль. Вместе с тем, взяв подходящее значение к, мы можем добиться того, что результирующее продольное растяжение обратится в нуль. Следовательно, полученное нами решение не будет являться точным решением для вала (или трубы), концы которого свободны от напряжений, но, согласно принципу Сен-Венана, его можно применять в частях такого вала (или трубы), достаточно удаленных от концов. Ошибка, вызванная применением этого решения, будет всегда очень мала.

437. Значения постоянных и 5, входящих в предыдущие выражения для компонентов напряжения, определяются из граничных условий, т. е. условий, наложенных на Обычно равно нулю на цилиндрических поверхностях. Следовательно, в случае трубы, мы имеем два выражения для определения двух неизвестных.

Пусть внешний и внутренний радиусы трубы. Легко показать, что:

так, что на поверхности

Если вал сплошной, то мы, очевидно, будем иметь только одно условие, а определить требуется две постоянные А к В. Заметим, что В в этом случае должно равняться нулю. На самом деле вторая из формул (54) показывает, что и будет содержать член — а вместе с тем и должно обращаться в нуль при Следовательно, в случае сплошного вала радиуса а мы из граничного условия и первой формулы (59) имеем:

Для компонентов напряжения получаем формулы: