ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ IV

Поведение материала за пределом пропорциональности. Теории прочности

140. В этой книге мы рассматриваем только те напряжения, которые лежат в границах применимости закона Гука. Очень трудные проблемы неупругой (или пластической) деформации не затрагиваются. Однако стоит дать краткое изложение методов, с помощью которых результаты теории упругости применяются в практике к вопросам прочности (гл. I, § 2). Изложим это весьма кратко и заметим, что многие высказанные здесь положения должны быть уточнены.

141. В таблице на стр. 186 для некоторых характерных материалов приведены результаты испытаний на растяжение. Эти испытания подобны тем, которые описаны в § 112, но теперь образец испытывался вплоть до разрушения. Автор не думает, что приведенные цифры весьма точны. Однако они дадут некоторое представление о значениях тех величин, с которыми приходится иметь дело.

Модуль Юнга и коэффициент Пуассона уже были определены. В следующих трех столбцах помещены значения напряжений, характеризующих важнейшие явления неупругого характера. Напряжения вычислены путем деления нагрузки на площадь первоначального поперечного сечения образца.

142. Если напряжения малы, то возникающие в образце удлинения им пропорциональны. С возрастанием нагрузки удлинения возрастают быстрее, чем напряжения. Первое отклонение от пропорциональности (закона Гука) происходит при так называемом пределе пропорциональности. Он может быть обнаружен только с помощью точных измерительных инструментов (экстензометров) и будет зафиксирован раньше или позже, в зависимости от того,

ТАБЛИЦА I (см. скан) ТИПОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИСПЫТАНИЙ НА РАСТЯЖЕНИЕ [Напряжения и модули Юнга выражены в ]

использованы при ислытаниях приборы большей или меньшей чувствительности. Четвертый столбец таблицы дает напряжения, равные пределам пропорциональности данных материалов.

143. Предел текучести требует очень тщательного определения, но для наших целей его можно приравнять напряжению (обычно немного большему, чем предел пропорциональности), начиная с которого удлинения начинают возрастать почти без изменения нагрузки. Временное сопротивление, вычисленное так, как указано в § 141, является тем (номинальным) напряжением, при котором материал разрушается.

144. Из таблицы можно видеть, что удлинения, при которых тело следует закону Гука, малы.

Если взять напряжения, приведенные в четвертом столбце, и разделить их на значения Е, данные во втором столбце, то получатся удлинения материалов, соответствующие пределу пропорциональности. Они приведены в последнем столбце таблицы. Видно, что эти величины подтверждают замечание, сделанное в § 117, о том, что реальные материалы перестают подчиняться закону Гука при очень малых значениях деформаций.

Следует заметить, что в практике, обычно, не допускаются напряжения, превосходящие предел пропорциональности, и, следовательно, допускаемые деформации столь малы, что пренебрежение (например, в § 117) их произведением по сравнению с ними самими вюлне оправдано. Это обстоятельство весьма выгодно для теории, но оно не дает нам возможности ответить на вопрос, какой величины деформация может быть допущена в действительности? Мы все еще фактически не представляем себе условий, вызывающих переход материала за предел пропорциональности в опыте на простое растяжение. Он происходит при напряжениях, которые можно определить с большой точностью. Однако мы не знаем, является ли он следствием достижения предельного напряжения или предельной деформации.

146. Если материал перестает следовать закону Гука, в силу достижения предельного (нормального) напряжения, то четвертый столбец таблицы дает нам как раз те величины, которые нужны при проектировании. Так, мы можем утверждать, что сложное напряженное состояние будет допускаемым тогда, когда в каждой точке тела наибольшее из главных напряжений меньше напряжения, полученного из опытов на растяжение и равного пределу пропорциональности. На этом основана теория прочности, известная как теория максимального напряжения. С нею связано имя Рэнкина. Поддерживали эту теорию прочности Ламе и другие.

146. С другой стороны, вслед за Понселе Сен-Венан предположил, что нарушение закона Гука происходит вследствие достижения предельного удлинения. На этом предположении основана теория максимальной деформации, согласно которой допускаемость сложного напряженного состояния зависит от того, будет ли наибольшее главное удлинение или деформация (§ 137) меньше значения, оказавшегося допускаемым в опыте на растяжение, или больше него. С точки зрения этой теории, необходимы величины, приводимые в последнем столбце таблицы.

147. Другие исследователи [Кулон, Треска, Д. Г. Дарвин, Гест считали, что отклонение от закона Гука определяется наибольшим касательным напряжением в материале, т. е. (§ 138) наибольшей разностью главных напряжений. На этом предположении основана теория максимальной разности напряжений, которая теперь используется шире, чем теории максимального напряжения или деформации. Обычно она называется «законом Геста».

148. С именами Бельтрами и Хея связана теория максимальной упругой энергии деформации.

Согласно этой теории, материал способен запасать упругую энергию только до некоторого предела, т. е. фактором, определяющим переход за предел пропорциональности, является удельная упругая энергия деформации (§ 116).

В опыте на растяжение допускаемая удельная энергия деформации (§ 116) представляет собой половину произведения напряжения на удлинение при пределе пропорциональности, т. е. его величина равна половине

произведения цифр четвертого и седьмого столбцов таблицы Удельная энергия деформации, вызванная сложным напряженным состоянием, может быть вычислена по формуле (5) § 115 и (чтобы быть допускаемой) не должна превосходить удельной энергии деформации, полученной из испытаний.

Р. фон Мнзес, а вслед за ним Губер и Генки) изменили предшествующую теорию. Они предложили в выражении для удельной энергии деформации пренебречь той ее частью, которая получается от изменения объема, по сравнению с частью, зависящей от изменения формы. Если для удельной энергии деформации взять второе из выражений (17), то можно видеть, что предшествующее предположение фактически сводится к тому, что значение объемного модуля считается бесконечно большим. И теперь полное выражение для и заменится следующим:

В качестве критерия перехода за предел пропорциональности берется сумма квадратов разностей главных напряжений.

149. Мы не будем оказывать предпочтение ни одной из этих теорий и не будем излагать сущности других теорий, предложенных для объяснения нарушения закона Гука в материалах. Вопрос остается открытым, что еще раз подчеркивает наше незнание факторов, определяющих прочность материалов. В практике это незнание покрывается введением так называемого коэффициента безопасности. Максимальное напряжение, деформацию или удельную энергию деформации ограничивают не величиной, которая была найдена допускаемой в опыте на растяжение, а, приняв коэффициент безопасности равным позволяют им достигать этой величины.

150. На примере напряженного состояния, имеющего следующие величины главных напряжений

проиллюстрируем различные теории прочности. Для этого вычислим коэффициент безопасности, пользуясь каждой из указанных теорий. Материал — сталь, с пределом пропорциональности опыте на простое растяжение), модулем Юнга и коэффициентом Пуассона 0,3. В отыте на растяжение мы имели:

(см. скан)

отсюда мы найдем, что коэффициент безопасности равен:

(a) Согласно теории максимального напряжения (§ 145), из (I) и (V)

(b) Согласно теории максимальной деформации (§ 146), из (II) и (VI)

(c) Согласно теории максимальной разности напряжений (§ 147), из (III) и (VII)

(d) Согласно теории максимальной упругой энергии деформации (§ 148), из (IV) и (VIII)

т. е. допускаемый предел удельной упругой энергии деформации равен -кратной удельной упругой энергии деформации, соответствующей заданному напряженному состоянию (ср. § 149). Чтобы получить значение допускаемого предела удельной упругой энергии деформации, надо умножить заданные напряжения на