Главная > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ IV

Поведение материала за пределом пропорциональности. Теории прочности

140. В этой книге мы рассматриваем только те напряжения, которые лежат в границах применимости закона Гука. Очень трудные проблемы неупругой (или пластической) деформации не затрагиваются. Однако стоит дать краткое изложение методов, с помощью которых результаты теории упругости применяются в практике к вопросам прочности (гл. I, § 2). Изложим это весьма кратко и заметим, что многие высказанные здесь положения должны быть уточнены.

141. В таблице на стр. 186 для некоторых характерных материалов приведены результаты испытаний на растяжение. Эти испытания подобны тем, которые описаны в § 112, но теперь образец испытывался вплоть до разрушения. Автор не думает, что приведенные цифры весьма точны. Однако они дадут некоторое представление о значениях тех величин, с которыми приходится иметь дело.

Модуль Юнга и коэффициент Пуассона уже были определены. В следующих трех столбцах помещены значения напряжений, характеризующих важнейшие явления неупругого характера. Напряжения вычислены путем деления нагрузки на площадь первоначального поперечного сечения образца.

142. Если напряжения малы, то возникающие в образце удлинения им пропорциональны. С возрастанием нагрузки удлинения возрастают быстрее, чем напряжения. Первое отклонение от пропорциональности (закона Гука) происходит при так называемом пределе пропорциональности. Он может быть обнаружен только с помощью точных измерительных инструментов (экстензометров) и будет зафиксирован раньше или позже, в зависимости от того,

ТАБЛИЦА I (см. скан) ТИПОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИСПЫТАНИЙ НА РАСТЯЖЕНИЕ [Напряжения и модули Юнга выражены в ]

использованы при ислытаниях приборы большей или меньшей чувствительности. Четвертый столбец таблицы дает напряжения, равные пределам пропорциональности данных материалов.

143. Предел текучести требует очень тщательного определения, но для наших целей его можно приравнять напряжению (обычно немного большему, чем предел пропорциональности), начиная с которого удлинения начинают возрастать почти без изменения нагрузки. Временное сопротивление, вычисленное так, как указано в § 141, является тем (номинальным) напряжением, при котором материал разрушается.

144. Из таблицы можно видеть, что удлинения, при которых тело следует закону Гука, малы.

Если взять напряжения, приведенные в четвертом столбце, и разделить их на значения Е, данные во втором столбце, то получатся удлинения материалов, соответствующие пределу пропорциональности. Они приведены в последнем столбце таблицы. Видно, что эти величины подтверждают замечание, сделанное в § 117, о том, что реальные материалы перестают подчиняться закону Гука при очень малых значениях деформаций.

Следует заметить, что в практике, обычно, не допускаются напряжения, превосходящие предел пропорциональности, и, следовательно, допускаемые деформации столь малы, что пренебрежение (например, в § 117) их произведением по сравнению с ними самими вюлне оправдано. Это обстоятельство весьма выгодно для теории, но оно не дает нам возможности ответить на вопрос, какой величины деформация может быть допущена в действительности? Мы все еще фактически не представляем себе условий, вызывающих переход материала за предел пропорциональности в опыте на простое растяжение. Он происходит при напряжениях, которые можно определить с большой точностью. Однако мы не знаем, является ли он следствием достижения предельного напряжения или предельной деформации.

146. Если материал перестает следовать закону Гука, в силу достижения предельного (нормального) напряжения, то четвертый столбец таблицы дает нам как раз те величины, которые нужны при проектировании. Так, мы можем утверждать, что сложное напряженное состояние будет допускаемым тогда, когда в каждой точке тела наибольшее из главных напряжений меньше напряжения, полученного из опытов на растяжение и равного пределу пропорциональности. На этом основана теория прочности, известная как теория максимального напряжения. С нею связано имя Рэнкина. Поддерживали эту теорию прочности Ламе и другие.

146. С другой стороны, вслед за Понселе Сен-Венан предположил, что нарушение закона Гука происходит вследствие достижения предельного удлинения. На этом предположении основана теория максимальной деформации, согласно которой допускаемость сложного напряженного состояния зависит от того, будет ли наибольшее главное удлинение или деформация (§ 137) меньше значения, оказавшегося допускаемым в опыте на растяжение, или больше него. С точки зрения этой теории, необходимы величины, приводимые в последнем столбце таблицы.

147. Другие исследователи [Кулон, Треска, Д. Г. Дарвин, Гест считали, что отклонение от закона Гука определяется наибольшим касательным напряжением в материале, т. е. (§ 138) наибольшей разностью главных напряжений. На этом предположении основана теория максимальной разности напряжений, которая теперь используется шире, чем теории максимального напряжения или деформации. Обычно она называется «законом Геста».

148. С именами Бельтрами и Хея связана теория максимальной упругой энергии деформации.

Согласно этой теории, материал способен запасать упругую энергию только до некоторого предела, т. е. фактором, определяющим переход за предел пропорциональности, является удельная упругая энергия деформации (§ 116).

В опыте на растяжение допускаемая удельная энергия деформации (§ 116) представляет собой половину произведения напряжения на удлинение при пределе пропорциональности, т. е. его величина равна половине

произведения цифр четвертого и седьмого столбцов таблицы Удельная энергия деформации, вызванная сложным напряженным состоянием, может быть вычислена по формуле (5) § 115 и (чтобы быть допускаемой) не должна превосходить удельной энергии деформации, полученной из испытаний.

Р. фон Мнзес, а вслед за ним Губер и Генки) изменили предшествующую теорию. Они предложили в выражении для удельной энергии деформации пренебречь той ее частью, которая получается от изменения объема, по сравнению с частью, зависящей от изменения формы. Если для удельной энергии деформации взять второе из выражений (17), то можно видеть, что предшествующее предположение фактически сводится к тому, что значение объемного модуля считается бесконечно большим. И теперь полное выражение для и заменится следующим:

В качестве критерия перехода за предел пропорциональности берется сумма квадратов разностей главных напряжений.

149. Мы не будем оказывать предпочтение ни одной из этих теорий и не будем излагать сущности других теорий, предложенных для объяснения нарушения закона Гука в материалах. Вопрос остается открытым, что еще раз подчеркивает наше незнание факторов, определяющих прочность материалов. В практике это незнание покрывается введением так называемого коэффициента безопасности. Максимальное напряжение, деформацию или удельную энергию деформации ограничивают не величиной, которая была найдена допускаемой в опыте на растяжение, а, приняв коэффициент безопасности равным позволяют им достигать этой величины.

150. На примере напряженного состояния, имеющего следующие величины главных напряжений

проиллюстрируем различные теории прочности. Для этого вычислим коэффициент безопасности, пользуясь каждой из указанных теорий. Материал — сталь, с пределом пропорциональности опыте на простое растяжение), модулем Юнга и коэффициентом Пуассона 0,3. В отыте на растяжение мы имели:

(см. скан)

отсюда мы найдем, что коэффициент безопасности равен:

(a) Согласно теории максимального напряжения (§ 145), из (I) и (V)

(b) Согласно теории максимальной деформации (§ 146), из (II) и (VI)

(c) Согласно теории максимальной разности напряжений (§ 147), из (III) и (VII)

(d) Согласно теории максимальной упругой энергии деформации (§ 148), из (IV) и (VIII)

т. е. допускаемый предел удельной упругой энергии деформации равен -кратной удельной упругой энергии деформации, соответствующей заданному напряженному состоянию (ср. § 149). Чтобы получить значение допускаемого предела удельной упругой энергии деформации, надо умножить заданные напряжения на

1
Оглавление
email@scask.ru