РАСПРОСТРАНЕНИЕ КГУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ В КРУГЛЫХ ВАЛАХ И ТРУБАХ
377. Легче изучить распространение волн и явление отражения от неподвижной или свободной границы в том случае, когда передаваемое движение является кручением вала или трубы постоянного круглого поперечного сечения. Мы увидим, что скорость распространения волны в этом случае имеет второе из двух указанных в § 374 значений.
Уравнения движения возьмем в виде (18) § 322 и опустим массовые силы 
Ось 
направим по оси вала или трубы. Попробуем удовлетворить уравнениям движения, предполагая, что смещение всюду и все время лежит в плоскости поперечного сечения и направлено перпендикулярно радиусу-вектору 
Очевидно, мы имеем:
Рис. 101.
Через V обозначено результирующее тангенциальное смещение, зависящее от 
Отсюда
Из (17) § 322 мы имеем:
Подставляя эти выражения в уравнения движения, мы найдем, что третье из них удовлетворяется тождественно. Другие два совпадают и дают следующее уравнение:
378. В случае статического кручения (гл. V, §§ 155 — 159) было найдено, что смещение V является линейной функцией от 2 и прямо пропорционально 
Если попробуем принять, что V пропорционально 
и в нашем случае, то мы из 
получим:
А это значит, что единственными компонентами напряжения, имеющими отличные от нуля значения, являются 
В силу наших предположений мы имеем:
Отсюда видно, что результирующее касательное напряжение в поперечном сечении всюду направлено перпендикулярно радиусу-вектору. Таким образом граничные условия задачи удовлетворены, и наши предположения, как видно, оправдываются. Основное уравнение (58) сводится к
где
И мы также, как для уравнения (54) § 372, имеем функциональное решение:
которое дает следующее выражение для компонента вращения 0):
Отсюда, согласно (59), мы получим, что
Для крутящего момента имеем
где 
полярный момент инерции площади поперечного сечения
379. Функции 
в равенствах (61) можно интерпретировать так же, как в § 373. Только теперь скорость распространения с будет иметь значение 
Этот результат соответствует замечанию, сделанному в § 374, потому что наше решение для смещения дает отличные от нуля компоненты вращения 
и равную нулю величину объемного расширения 
Сначала допустим, что 
исчезает. В этом случае мы имеем волну вращения, определяемую выражением:
Эта волна движется в направлении 
Возникшие при этом касательные напряжения равны:
Результирующее касательное напряжение на расстоянии 
от центра имеет величину:
а крутящий момент имеет значение: (62)
Таким образом напряжения и крутящий момент пропорциональны 
которая является мгновенной угловой скоростью (ее можно обозначить, например, через да) поперечного сечения вокруг оси 
вала или трубы. Из (I) мы получим, что
А это показывает, что волны напряжений так же, как и волны смещений, движутся без изменения формы, с постоянной скоростью с.
Следует заметить, что здесь, как и в динамических задачах, рассмотренных ранее, употребляются системы единиц измерения, наиболее щироко принятые в динамике, (Так, в § 370 мы выражали 
в единицах 
т. е. в динах на квадратный сантиметр.)
380. Наши результаты легко проследить на частном примере.
Пример
7. (Camb. М. S. Т. 1931.) Сплошной стальной вал с диаметром 7,62 см вращался и делал 600 об/мин., когда один из его концов внезапно остановили.
Показать, что максимальное касательное напряжение, возникшее в валу, приблизительно равно 624 кгсм.
[Очевидно, задача не изменится, если мы пренебрежем постоянным вращением и примем, что одному из концов вала, первоначально находившемуся в покое, внезаппо сообщена угловая скорость, равная
Из формул (62) и (63) мы имеем:
Подставим сюда из условий задачи
тогда
Подставляя (I) и (111) в 
мы получим в 
