Вторая теорема о минимуме упругой энергии («вторая теорема Кастилиано»)

88. Возвратимся к § 84, где мы для всякого тела, подчиняющегося закону Гука и имеющего начальные напряжения, установили соотношение

где и полная упругая энергия, запасенная в теле, после приложения данной системы внешних сил;

— упругая энергия, запасенная в теле до того, как были приложены внешние сиды (энергия начальных напряжений);

добавок к упругой энергии начальных напряжений, вызванный приложением внешних сил, — величина независящая от значения То есть, если тело не было бы первоначально напряжено и подвергалось бы действию тех же внешних сил, то представляло бы собой значение полной упругой энергии, запасенной при этом в теле.

В § 85 мы из формулы (8) получили неравенство Откуда мы вывели, что деформации, вызванные начальными напряжениями, при отсутствии внешних сил и не нарушающие непрерывности в теле с начальными напряжениями всегда таковы, что запасенная в теле упругая энергия начальных напряжений имеет минимальное значение. Но равным образом, так как обязательно положительные величины, из формулы (8) можно получить неравенство

Другими словами, значение (полной упругой энергии при действии заданных внешних сил) в теле с начальными напряжениями всегда больше, чем в теле без начальных напряжений. принимает свое минимальное значение, при т. е. при отсутствии начальных напряжений.

89. Фактически это «вторая теорема Кастилиано», названная им «теоремой наименьшей работы». Ниже мы будем ссылаться на нее, называя ее «второй теоремой о минимуме упругой энергии».

Очень важно, чтобы читатель понял разницу между ней и «первой теоремой», сформулированной в § 81.

В «первой теореме о минимуме упругой энергии» некоторые точки упругого тела получали заданные перемещения. При ее доказательстве мы рассматривали все виды деформаций, которые удовлетворяли этому поставленному условию. Из всех возможных конфигураций (т. е. конфигураций, совместных с поставленным условием) только одна не требует наличия внешних сил для сохранения равновесия

Отсюда и получается, что во всех других конфигурациях упругой энергии запасается больше, чем в «конфигурации равновесия», которая не требует наличия внешних сил для сохранения равновесия.

Во «второй теореме о минимуме упругой энергии» в некоторых точках тела действуют заданные силы. При ее доказательстве мы рассматриваем только такие конфигурации, которые можно удержать в равновесии этими силами. Разница между этими конфигурациями может происходить только от разницы в начальных напряжениях. Мы показали, что полная упругая энергия при наличии начальных напряжений будет всегда больше. Поэтому она является наименьшей в той конфигурации, в которой не имеется начальных напряжений.

Рис. 32.

Понятно, что обе теоремы совершенно различны и что каждая из них применяется в своем частном классе задач. Так, когда заданы перемещения (а также недостаточные или избыточные длины лишних стержней, влекущие за собой возникновение начальных напряжений, ср. § 86), мы можем обратиться к первой теореме. Вторая теорема применяется тогда, когда заданы силы.

90. Для того чтобы иллюстрировать приложение «второй теоремы Кастилиано», мы рассмотрим следующий пример (выпускные экзамены в Кембриджском университете, 1910 г.).

Ферма, показанная на рис. 32, содержит лишний стержень. Стержни фермы имеют одинаковые площади поперечных сечений, сделаны из одного и того же материала соединены между собой шарнирами. Требуется найти усилие в нижнем горизонтальном стержне.

Обозначим через растягивающую силу в нижнем горизонтальном стержне. Если нредположим, что нижний стержень удален, а в точках приложены равные и противоположные горизонтальные силы то усилия в других (кроме стержнях можно выразить как функции

Согласно принцицу суперпозиции можно рассмотреть действие наших горизонтальных сил отдельно от действия всех заданных вертикальных сил. Затем рассмотреть действие только одних вертикальных сил и соединить оба результата.

Взяв отдельно горизонтальные силы, мы без труда найдем, что они вызывают те усилия, которые приведены во втором и третьем столбцах приложенной таблицы.

(см. скан)

Аналогично можно рассмотреть вертикальные силы, и тогда мы заполним четвертый и пятый столбцы таблицы. Шестой и седьмой столбцы понятны без объяснений. Полная упругая энергия для всей фермы (включая все стержни) будет:

Условие минимума упругой энергии, а именно

откуда окончательно мы имеем:

Примеры

7. (Camb. M.S. Т. 1933.) Шарнирная ферма, как показано на рисунке, опирается в точках и несет одинаковые грузы и Длины различных стержней равны

Площади поперечных сечений стержней и равны а всех других стержней

Показать, что грузы в каждом из стержней и вызывают силу растяжения, равную

8. (Camb. M.S.Т. 1930.) Консольная ферма прикреплена шарнирами к стене в удерживает вертикальную сосредоточенную силу Площади -речных сечений стержней и равны 2/4. Площади поперечных сечений стержней и равны Все остальные стержни имеют площади поперечных сечений А. Показать, что растяжение в равно

9. (Camb. M.S. Т. 1932.) В ферме, показанной на рисунке, имеется три равносторонних треугольника и Стержни имеют площади поперечных сечений 2а. Площади поперечных сечений остальных стержней равны а.

Рассматривая вертикали и как лишние стержни, показать, что они подвержены растяжению величины

(В следующих примерах упругую энергию изгиба можно получить методами главы II. Растягивающая сила в тяге берется за неизвестную, а ее значение получается из условия минимума полной упругой энергии.)

10. (Camb. M.S.Т. 1933.) Стальная рама, как показано на рисунке, состоит из двух балок и постоянного поперечного сечения, жестко соединенных в и тяги

Рама удерживается силами, действующими так, как показано, и несет сосредоточенную силу Тяга имеет площадь поперечного сечения Концы тяги присоединены к раме. Поперечное сечение каждой из балок при изгибе в плоскости имеет момент инерции

Пренебрегая эффектом сжатия балок, получить выражение для усилия в тяге вследствие действия силы

Для случая см, см и см показать, что мы получим ошибку около 2,4 процента, если предположим, что В балки соединены шарнирно.

11. (Camb. M.S.Т. 1932.) Балка постоянного поперечного сечения, как показано на рисунке, несет сосредоточенную силу в середине и равную ей равномерно распределенную по половине пролета нагрузку. Балка упрочнена скобами и имеющими тот же, что и балка, момент инерции площади поперечного сечения и жестко прикрепленными к ней. Концы их шарнирно прикреплены к тяге Тягу можно считать нерастяжимой. Когда балка ненагружена, тяга не напряжена и не провисает.

Доказать, что растягивающая сила, возникающая в тяге от нагрузки, равна

Влиянием на балку силы сжатия можно пренебречь.

91. Ни формулировка, ни доказательство второй теоремы Кастилиано, данные в § 88, не воспроизводят оригинальной работы Кастилиано. Сущность доказательства Кастилиано можно передать (в наших обозначениях) следующим образом.

Пусть на рис. 30 (как и в § 84) представляет собой расстояние между двумя точками и 5 тела, освобожденного от начальных напряжений с помощью подходящим образом выбранных разрезов. Пусть представляет собой растягивающую силу, которую нужно приложить в этих точках для того, чтобы закрыть зазор и восстановить состояние начального напряжения. Пусть представляют собой другие растягивающие силы того же рода, а

расстояния между теми парами точек, которые они должны привести в соприкосновение. Пусть обозначают данную систему внешних сил.

Как и в § 83 мы можем рассматривать тело с начальными напряжениями, подверженное действию внешних сил как эквивалентное первоначально ненапряженному телу, находящемуся под действием и одновременно под действием рсистягивающих сил При этом следует наложить условие, что перемещения, соответствующие растягивающим силам, имеют величины Рассматриваемые с этой точки зрения растягивающие силы являются внешними силами. Если полная упругая энергия, запасенная в теле, то, согласно первой теореме Кастилиано,

Т. е. деформации таковы, что упругая энергия, имеющая определенную величину, соответствующую заданным значениям удовлетворяет дифференциальным соотношениям (11).

Если все равны нулю, т. е. рассматриваемое тело не является телом с начальными напряжениями, то эти соотношения дают

Их можно сформулировать следующим образом. Упругая энергия имеет стационарное значение для малых изменений То, что это стационарное значение является минимумом, будет очевидно, если мы вспомним, что величина и не ограничена сверху. В доказательстве Кастилиано свойство минимума появляется как несколько искусственная интерпретация соотношений (12). Поэтому доказательство § 88 имеет некоторые преимущества.

Общие соотношения были записаны Кастилиано в форме (13). Как легко видеть, (13) и (11) эквивалентны.

Соотношения (13) можно рассматривать как обобщение соотношений (12). Соотношения (13) можно также установить с помощью доказательства, аналогичного тому, которое было приведено в § 88.