ГЛАВА IX. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ

Деформации, выраженные как функции смещений

292. Мы предположили, что материал непрерывен. Это предположение, как было замечено в § 260 предшествующей главы, затрудняет формулирование точных понятий о напряжениях, и в то же самое время оно вносит упрощения в теорию деформаций. Идеальный материал подобен аморфному желе и можно считать, что он занимает весь объем, лежащий внутри некоторой непрерывной поверхности, являющейся границей рассматриваемого тела. Итак, в любой точке недеформированного тела, определяемой координатами х, у, z, помещается некоторая частица материала. Если тело под действием приложенных сил деформируется, то эта частица претерпевает смещения в направлении х, у и z. Можно сказать, что точке в деформированной конфигурации соответствует некоторая точка в недеформированной конфигурации в том смысле, что в обоих случаях они относятся к одной и той же частице. Таким же образом можно сказать, что линии в обоих случаях соответствуют друг другу, если они состоят из ряда соответствующих точек. Предположение о непрерывности позволяет нам считать непрерывными функциями производные которых, как мы сейчас покажем, определяют деформацию. В реальных материалах, имеющих молекулярную структуру, предположение такого рода было бы незаконно.

293. В настоящей главе мы будем предполагать, что смещения и, всюду настолько малы, что квадратами и произведениями их производных можно пренебречь по сравнению с величинами самих производных,

приняв это допущение, мы сначала найдем выражение для относительного удлинения, возникшего вследствие деформации отрезка который соединяет две частицы тела.

Координаты точек, в которых находятся частицы в недеформированном теле обозначим через

Смещения частиц обозначим соответственно через

Координаты частиц после деформации будут

Формула (13) главы II § 43 показывает, что относительное удлинение вследствие деформации дается следующим выражением

где через обозначена недеформированная длина т. е.

Через обозначим направляющие косинусы в недеформированной конфигурации, т. е.

Равенство (1) теперь можно записать в форме

По формуле Тейлора с точностью до первых степеней величин мы имеем:

аналогично:

и

Подставив выражения (V) в (IV), мы получим:

Это и есть искомое выражение относительного удлинения Формула (1) становится точной, если бесконечно мало, так как тогда выражения в которых мы пренебрегали членами порядка являются точными выражениями для

294. Рассмотрим специальный случай. Пусть направлено параллельно Тогда В равенствах (III):

Подставив эти значения в формулу (1), мы получим:

Так выражается относительное удлинение отрезка, параллельного Обозначив это удлинение через мы можем написать:

Двойной индекс указывает на то, что в деформации, характеризуемой плоскости, перпендикулярные оси х, смещаются одна относительно другой в направлении Этот тип деформации описан в главе (IV) § 115 и назван «растяжением» или удлинением в направлении

Таким же путем можно получить аналогичные по форме выражения:

Рис. 95.

Это вызванные деформацией относительные удлинения прямых, первоначально параллельных соответственно направлениям

295. Таким образом, мы определили физический смысл величин которые являются коэффициентами при от, в формуле (1). Выясним, что представляют собой Рассмотрим деформацию, являющуюся следствием искажения первоначально прямоугольного треугольника (рис. 95). Стороны треугольника первоначально имеют одинаковые длины, равные Очевидно, что

Длина после деформации определится с помощью формулы (1):

так как в этом случае мы имеем:

Длины и после деформации соответственно равны:

Если через а обозначить угол после деформации, то мы получим очевидное соотношение:

Подставим (VI) и (VII) в соотношение (VIII) и пренебрежем, согласно допущению в § 293, квадратами и произведениями производных После этого при принятой степени точности получим:

Согласно допущению § 293, малы, т. е. а тоже мал и поэтому а близко к Обозначим через у уменьшение первоначально прямого угла (рис. 95) после деформации. Так как (измеренное здесь в радианах) достаточно мало, то мы с хорошим приближением можем принять, что:

Итак, если мы рассмотрим:

то можем сказать, что величина выражает (в радианах) уменьшение, вследствие деформации, первоначально прямого угла между двумя прямыми, проходящими через рассматриваемую точку и до деформации параллельными направлениям Другими словами, величина характеризует

угловую деформацию или «сдвиг». Аналогичную интерпретацию можно дать:

Обозначения

296. Заметим, что обозначения использованные здесь для того, чтобы характеризовать изменение углов между определенными отрезками, соответствуют обозначениям, использованным в формулах (2) и (3) для того, чтобы характеризовать удлинения

В § 294 мы установили, что представляет собой деформацию, в которой плоскости, первоначально перпендикулярные оси X, смещаются одна относительно другой по направлению Система обозначений будет последовательной, если будут характеризовать деформацию, в которой плоскости, первоначально перпендикулярные оси х, смещаются одна относительно другой в направлении Смещение такого рода вызывает изменение угла, обозначенное нами как раз через Это схематично иллюстрируется на рис. 95 слева. На этой схеме является следом плоскости, первоначально перпендикулярной и перемещающейся в направлении О у относительно другой плоскости, след которой В А. Через обозначен угол, получившийся в результате изменения первоначально прямого угла

Очевидно, что символ может быть использован для того, чтобы обозначить перемещение, характер которого иллюстрируется на рис. 95 справа. На этой новой схеме представляет собой след плоскости, первоначально перпендикулярной оси у и перемещающейся относительно в направлении Оба рода перемещений тождественны по отношению к своему влиянию на угол так как схемы справа и слева на рис. 95 показывают, что от одного случая можно перейти к другому с помощью поворота тела, как абсолютно твердого. Итак, если и как было показано

в VIII главе, представляют собой различные компоненты, напряжения, равные только по величине (§ 270), то в теории деформации совсем безразлично, какой из символов или использовать для того, чтобы характеризовать величину одной и той же деформации (деформации «сдвига»).

297. Осталось установить правило знаков. Так как мы произвольно считали, что растягивающее напряжение является положительным нормальным напряжением, то мы для того, чтобы быть последовательными, должны считать удлинение характеризуемое величиной положительным видом деформации. Это значит, что будет характеризовать положительную деформацию тогда, когда плоскость, расположенная на стороне больших х движется в направлении относительно плоскости, расположенной на стороне меньших Также ради последовательности мы должны считать, что характеризует положительную деформацию тогда, когда плоскость, расположенная на стороне больших х, движется в направлении относительно плоскости, расположенной на стороне меньших Таким образом характеризует положительную деформацию тогда, когда выражает уменьшение угла между отрезками, первоначально направленными по Все введенные нами обозначения теории деформации не противоречат сами себе и находятся в согласии с содержанием предшествующих глав.

В § 269 мы отметили, что существует большое разнообразие в обозначениях компонентов напряжения. То же наблюдается и в отношении символов, обозначающих компоненты деформации. Однако последнее имеет меньшее значение, так как задачи теории упругости обычно решаются с помощью функций напряжений (§ 287) или (что более распространено) в компонентах смещения. Пирсон пользовался символами величин, которые мы обозначили здесь также, как в «Математической теории упругости Лява, через На континенте и в Америке обычно обозначают их через