Главная > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА IX. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ

Деформации, выраженные как функции смещений

292. Мы предположили, что материал непрерывен. Это предположение, как было замечено в § 260 предшествующей главы, затрудняет формулирование точных понятий о напряжениях, и в то же самое время оно вносит упрощения в теорию деформаций. Идеальный материал подобен аморфному желе и можно считать, что он занимает весь объем, лежащий внутри некоторой непрерывной поверхности, являющейся границей рассматриваемого тела. Итак, в любой точке недеформированного тела, определяемой координатами х, у, z, помещается некоторая частица материала. Если тело под действием приложенных сил деформируется, то эта частица претерпевает смещения в направлении х, у и z. Можно сказать, что точке в деформированной конфигурации соответствует некоторая точка в недеформированной конфигурации в том смысле, что в обоих случаях они относятся к одной и той же частице. Таким же образом можно сказать, что линии в обоих случаях соответствуют друг другу, если они состоят из ряда соответствующих точек. Предположение о непрерывности позволяет нам считать непрерывными функциями производные которых, как мы сейчас покажем, определяют деформацию. В реальных материалах, имеющих молекулярную структуру, предположение такого рода было бы незаконно.

293. В настоящей главе мы будем предполагать, что смещения и, всюду настолько малы, что квадратами и произведениями их производных можно пренебречь по сравнению с величинами самих производных,

приняв это допущение, мы сначала найдем выражение для относительного удлинения, возникшего вследствие деформации отрезка который соединяет две частицы тела.

Координаты точек, в которых находятся частицы в недеформированном теле обозначим через

Смещения частиц обозначим соответственно через

Координаты частиц после деформации будут

Формула (13) главы II § 43 показывает, что относительное удлинение вследствие деформации дается следующим выражением

где через обозначена недеформированная длина т. е.

Через обозначим направляющие косинусы в недеформированной конфигурации, т. е.

Равенство (1) теперь можно записать в форме

По формуле Тейлора с точностью до первых степеней величин мы имеем:

аналогично:

и

Подставив выражения (V) в (IV), мы получим:

Это и есть искомое выражение относительного удлинения Формула (1) становится точной, если бесконечно мало, так как тогда выражения в которых мы пренебрегали членами порядка являются точными выражениями для

294. Рассмотрим специальный случай. Пусть направлено параллельно Тогда В равенствах (III):

Подставив эти значения в формулу (1), мы получим:

Так выражается относительное удлинение отрезка, параллельного Обозначив это удлинение через мы можем написать:

Двойной индекс указывает на то, что в деформации, характеризуемой плоскости, перпендикулярные оси х, смещаются одна относительно другой в направлении Этот тип деформации описан в главе (IV) § 115 и назван «растяжением» или удлинением в направлении

Таким же путем можно получить аналогичные по форме выражения:

Рис. 95.

Это вызванные деформацией относительные удлинения прямых, первоначально параллельных соответственно направлениям

295. Таким образом, мы определили физический смысл величин которые являются коэффициентами при от, в формуле (1). Выясним, что представляют собой Рассмотрим деформацию, являющуюся следствием искажения первоначально прямоугольного треугольника (рис. 95). Стороны треугольника первоначально имеют одинаковые длины, равные Очевидно, что

Длина после деформации определится с помощью формулы (1):

так как в этом случае мы имеем:

Длины и после деформации соответственно равны:

Если через а обозначить угол после деформации, то мы получим очевидное соотношение:

Подставим (VI) и (VII) в соотношение (VIII) и пренебрежем, согласно допущению в § 293, квадратами и произведениями производных После этого при принятой степени точности получим:

Согласно допущению § 293, малы, т. е. а тоже мал и поэтому а близко к Обозначим через у уменьшение первоначально прямого угла (рис. 95) после деформации. Так как (измеренное здесь в радианах) достаточно мало, то мы с хорошим приближением можем принять, что:

Итак, если мы рассмотрим:

то можем сказать, что величина выражает (в радианах) уменьшение, вследствие деформации, первоначально прямого угла между двумя прямыми, проходящими через рассматриваемую точку и до деформации параллельными направлениям Другими словами, величина характеризует

угловую деформацию или «сдвиг». Аналогичную интерпретацию можно дать:

Обозначения

296. Заметим, что обозначения использованные здесь для того, чтобы характеризовать изменение углов между определенными отрезками, соответствуют обозначениям, использованным в формулах (2) и (3) для того, чтобы характеризовать удлинения

В § 294 мы установили, что представляет собой деформацию, в которой плоскости, первоначально перпендикулярные оси X, смещаются одна относительно другой по направлению Система обозначений будет последовательной, если будут характеризовать деформацию, в которой плоскости, первоначально перпендикулярные оси х, смещаются одна относительно другой в направлении Смещение такого рода вызывает изменение угла, обозначенное нами как раз через Это схематично иллюстрируется на рис. 95 слева. На этой схеме является следом плоскости, первоначально перпендикулярной и перемещающейся в направлении О у относительно другой плоскости, след которой В А. Через обозначен угол, получившийся в результате изменения первоначально прямого угла

Очевидно, что символ может быть использован для того, чтобы обозначить перемещение, характер которого иллюстрируется на рис. 95 справа. На этой новой схеме представляет собой след плоскости, первоначально перпендикулярной оси у и перемещающейся относительно в направлении Оба рода перемещений тождественны по отношению к своему влиянию на угол так как схемы справа и слева на рис. 95 показывают, что от одного случая можно перейти к другому с помощью поворота тела, как абсолютно твердого. Итак, если и как было показано

в VIII главе, представляют собой различные компоненты, напряжения, равные только по величине (§ 270), то в теории деформации совсем безразлично, какой из символов или использовать для того, чтобы характеризовать величину одной и той же деформации (деформации «сдвига»).

297. Осталось установить правило знаков. Так как мы произвольно считали, что растягивающее напряжение является положительным нормальным напряжением, то мы для того, чтобы быть последовательными, должны считать удлинение характеризуемое величиной положительным видом деформации. Это значит, что будет характеризовать положительную деформацию тогда, когда плоскость, расположенная на стороне больших х движется в направлении относительно плоскости, расположенной на стороне меньших Также ради последовательности мы должны считать, что характеризует положительную деформацию тогда, когда плоскость, расположенная на стороне больших х, движется в направлении относительно плоскости, расположенной на стороне меньших Таким образом характеризует положительную деформацию тогда, когда выражает уменьшение угла между отрезками, первоначально направленными по Все введенные нами обозначения теории деформации не противоречат сами себе и находятся в согласии с содержанием предшествующих глав.

В § 269 мы отметили, что существует большое разнообразие в обозначениях компонентов напряжения. То же наблюдается и в отношении символов, обозначающих компоненты деформации. Однако последнее имеет меньшее значение, так как задачи теории упругости обычно решаются с помощью функций напряжений (§ 287) или (что более распространено) в компонентах смещения. Пирсон пользовался символами величин, которые мы обозначили здесь также, как в «Математической теории упругости Лява, через На континенте и в Америке обычно обозначают их через

1
Оглавление
email@scask.ru