Применение метода Рэлея к свободным колебаниям упругой системы

508. В § 502 мы видели, что поперечные прогибы данного вала определяются одним и тем же уравнением как в том случае, когда он вращается при «критической скорости», так и в том случае, когда он совершает свободные колебания нормальной формы. Следовательно, выводы §§ 503—507 без существенных изменений можно применить к задачам колебаний. При нормальных колебаниях (§ 212) каждая точка вала совершает простое гармоническое колебание с постоянными периодом и фазой, т. е.

где постоянные, а зависит только от определяет «форму нормального колебания» и подчиняется тем же граничным условиям на концах, что и представляет собой действительный прогиб вала, когда

вал находится в одном из крайних положений колебания. Уравнение, соответствующее (5), а именно:

показывает, что можно вычислить с помощью формы прогиба в крайнем положении.

Подставив в вместо У, мы получим соответствующие «собственные частоты» «Сопряженные соотношения» (7) имеют место для любых двух форм нормальных колебаний. Следовательно, как и раньше, можно показать, что из (17) можно получить оценку для определяется как самая «низкая» или основная собственная частота), которая для каждого конкретного случая превышает истинное значение и будет достаточно близка к нему, когда некоторая форма подставляемая в (17), выбрана подходящим образом. Таким образом метод Рэлея можно применять для оценки основной частоты свободных колебаний. Задачи такого рода часто решаются этим методом.