Вычисление вертикальных перемещений

66. Зная (вместе с в случае бесшарнирной арки § 58), мы можем вычислить вертикальные перемещения, вызванные приложенной нагрузкой. Практически они обычно не имеют значения, так как слишком малы. Поступая согласно методу, объясненному в §§ 50—51, мы введем силу соответствующую тому перемещению 8, которое мы хотим вычислить. Дадим его истинное (заданное) значение, после того как получим 8 из формулы

Надо подчеркнуть, что в случае арок влияет не только на но и на В наиболее общем случае (бесшарнирная арка) U дается выражением (17), а следующей формулой

Следовательно, предполагая, что В постоянно, мы из (I) имеем

где дается выражением (30).

с другой стороны, если предположить абсолютную жесткость в пятах, то мы, как в § 58, будем иметь:

а тогда уравнение (II) можно свести к более простой форме

Если арка шарнирно оперта в пятах, то не будет членов, зависящих от и будет связано с при помощи (28), откуда, если раздача X задана и следовательно не зависит от мы получим:

Более того, как в § 57, мы имеем:

Следовательно, из (II) и (III) вытекает, что

Таким образом, если раздача не допускается, то 8 дается выражением одного и того же вида как для арки с шарнирно опертыми пятами, так и для арки, пяты которой

заделаны. Но под знаком интеграла для каждого из этих случаев имеет свое специальное выражение. Так,

в первом случае и (30) во втором.

Нужно заметить, что в тех случаях, когда можно отождествить с первый член в выражении для а именно

не зависит от формы арки. Он равен прогибу, который произойдет под действием той же нагрузки в соответствующей точке прямой балки.

Примеры

14. Обратимся к первому из примеров § 57. Мы видим, что, если пренебречь эффектом распора, то реакция в пяте будет:

Пяты должны быть достаточно жесткими и не должны допускать горизонтального перемещения. Тогда изгибающий момент от рассматриваемой в этом примере силы приложенной посредине, в каждой половине пролета будет

Для того чтобы найти вертикальное перемещение замка арки, мы в уравнении (40) силу заменим на Тогда получим:

Этот результат подчеркивает преимущества арочной конструкции в отношении жесткости. Если был бы равен нулю, то из (V) мы бы получили

тогда как, если раздача не допускается и, следовательно, дается выражением (IV), мы имеем

что составляет только 6 процентов прежней величины.

15. (Camb М. S. Т. 1933.) Форма двухшарнирной арки (рис. 21) задана уравнением Начало координат в левом шарнире, ось X направиена горизонтально, ось у — вертикально.

Предположим, что подъем этой арки мал. Будем пренебрегать всеми деформациями, кроме изменения кривизны вследствие изгибающего момента. Показать, что -горизонтальная составляющая распора в пяте, возникающая в силу действия сосредоточенной вертикальной силы приложенной на расстоянии а по горизонтали от левого шарнира, приближенно дается выражением

длина пролета, «раздача» не допускается).

16. Для той же и так же нагруженной арки показать, что прогиб под силой будет

где жесткость при изгибе арки (постоянная).