Вычисление вертикальных перемещений
66. Зная
(вместе с
в случае бесшарнирной арки § 58), мы можем вычислить вертикальные перемещения, вызванные приложенной нагрузкой. Практически они обычно не имеют значения, так как слишком малы. Поступая согласно методу, объясненному в §§ 50—51, мы введем силу
соответствующую тому перемещению 8, которое мы хотим вычислить. Дадим
его истинное (заданное) значение, после того как получим 8 из формулы
Надо подчеркнуть, что в случае арок
влияет не только на
но и на
В наиболее общем случае (бесшарнирная арка) U дается выражением (17), а
следующей формулой
Следовательно, предполагая, что В постоянно, мы из (I) имеем
где
дается выражением (30).
с другой стороны, если предположить абсолютную жесткость в пятах, то мы, как в § 58, будем иметь:
а тогда уравнение (II) можно свести к более простой форме
Если арка шарнирно оперта в пятах, то не будет членов, зависящих от
и
будет связано с
при помощи (28), откуда, если раздача X задана и следовательно не зависит от
мы получим:
Более того, как в § 57, мы имеем:
Следовательно, из (II) и (III) вытекает, что
Таким образом, если раздача не допускается, то 8 дается выражением одного и того же вида как для арки с шарнирно опертыми пятами, так и для арки, пяты которой
заделаны. Но
под знаком интеграла для каждого из этих случаев имеет свое специальное выражение. Так,
в первом случае и (30) во втором.
Нужно заметить, что в тех случаях, когда
можно отождествить с
первый член в выражении для
а именно
не зависит от формы арки. Он равен прогибу, который произойдет под действием той же нагрузки в соответствующей точке прямой балки.
Примеры
14. Обратимся к первому из примеров § 57. Мы видим, что, если пренебречь эффектом распора, то реакция в пяте будет:
Пяты должны быть достаточно жесткими и не должны допускать горизонтального перемещения. Тогда изгибающий момент от рассматриваемой в этом примере силы
приложенной посредине, в каждой половине пролета будет
Для того чтобы найти вертикальное перемещение замка арки, мы в уравнении (40) силу
заменим на
Тогда получим:
Этот результат подчеркивает преимущества арочной конструкции в отношении жесткости. Если
был бы равен нулю, то из (V) мы бы получили
тогда как, если раздача не допускается и, следовательно,
дается выражением (IV), мы имеем
что составляет только 6 процентов прежней величины.
15. (Camb М. S. Т. 1933.) Форма двухшарнирной арки (рис. 21) задана уравнением
Начало координат в левом шарнире, ось X направиена горизонтально, ось у — вертикально.
Предположим, что подъем
этой арки мал. Будем пренебрегать всеми деформациями, кроме изменения кривизны вследствие изгибающего момента. Показать, что
-горизонтальная составляющая распора в пяте, возникающая в силу действия сосредоточенной вертикальной силы
приложенной на расстоянии а по горизонтали от левого шарнира, приближенно дается выражением
длина пролета, «раздача» не допускается).
16. Для той же и так же нагруженной арки показать, что прогиб под силой
будет
где
жесткость при изгибе арки (постоянная).