Упругая энергия деформации, запасенная изотропным телом

328. Чтобы закончить рассмотрение изотропных тел, мы выведем общее вырансение для «удельной упругой энергии деформации» или упругой энергии деформации, запасенной единицей объема изотропного материала.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, длины сторон которого равны и с и направлены соответственно по (см. рис. 37 § 115 главы IV). В общем случае мы имеем силу растяжения величины являющуюся следствием напряжения Перемещение, «соответствующее» этой силе (гл. I, § 29), равно полному удлинению

Применяя формулу главы I для работы, запасенной получим выражение;

Аналогично для работы, запасенной получим выражение:

Следовательно, в общем напряженном состоянии, когда все шесть компонентов напряжения имеют некоторые определенные значения, полная упругая энергия на единицу объема, запасенная в параллелепипеде, равна:

Первое выражение (19) верно как для изотропных, так и для неизотропных тел. Второе (20) относится только к изотропным телам и дает удельную энергию деформации как функцию шести компонентов деформации. Уравнения (10) представляют собой соотношения между компонентами напряжения и деформации в общем случае напряженного состояния изотропного тела. Из них:

Мы можем подставить эти выражения для компонентов деформации в равенство (19) и получим:

Удельная упругая энергия деформации выражена как функция шести компонентов напряжения. Этому равенству можно придать несколько иной вид;

где - модуль сдвига.

Если главные напряжения, то равенства (22) и (23) становятся тождественными с равенствами (5) и (17) главы IV.