Теорема Кирхгофа о единственности решения

14. Установлено, что полная упругая энергия должна быть положительной. Вместе с тем и каждая часть тела должна запасать либо положительное количество энергии, либо нуль, ибо при нашем предположении о том, что ненагруженный материал механически устойчив, ни одна часть тела в результате действия на него сил не может отдавать энергии. В соответствии с этим и может обратиться в нуль только тогда, когда любая часть тела не деформирована, т. е. энергия не запасена ни одной из частей тела.

На этом заключении и на принципе суперпозиции (§ 6) мы можем основать доказательство того, что только одна конфигурация равновесия совместима с заданными силами или заданными перемещениями.

15. Возьмем наиболее общий случай. Примем, что в одних точках заданы перемещения, а в других силы (очевидно, что мы не свободны в задании одновременно и сил и перемещений в одной и той же точке). Обозначим заданные перемещения а заданные силы Далее

допустим, что возможны две различные конфигурации равновесия. Пусть силы, соответствующие суть в первой конфигурации и во второй, а перемещения, соответствующие суть в первой конфигурации и во второй. Таким образом имеем две различные системы сил и перемещений, а именно:

По принципу суперпозиции эти две системы сил и перемещений можно скомбинировать друг с другом любым способом. Комбинация их должна дать систему сил и соответствующих перемещений, образующих третью конфигурацию равновесия. Скомбинируем первую систему со второй, обращенной (т. е. силам и перемещениям второй системы приписываются отрицательные знаки). Тогда в третьей (комбинированной) системе мы имеем:

Третья система, по нашему предположению, тоже является системой, удерживающей тело в равновесии. Но в ней все произведения сил на соответствующие перемещения равны нулю так, что, согласно мы имеем Таким образом, третья (комбинированная) система не запасает упругой энергии, а поэтому (в соответствии с доказательствами § 14) она не вызывает деформаций ни одной из частей тела. Отсюда мы заключаем, что первая и вторая системы сил и перемещений должны быть тождественны. Мы пришли к

противоречию с нашим первоначальным предположением о возможности двух различных конфигураций равновесия. Полученное противоречие доказывает теорему Кирхгофа о единственности решения.