Приложение первой теоремы Кастилиано

45. При решении предыдущих задач мы пользовались теоремой, взаимной с первой теоремой Кастилиано, очевидно, потому, что в них были заданы величины сил. Согласно этой теореме, заданные силы можно приравнять Откуда, если только будет выражено как функция

неизвестных перемещений узлов, легко можно получить величины В иащих примерах число неизвестных перемещений не превышало двух и поэтому труд, затрачиваемый на такой путь решения, был невелик.

Обычно же встречается ббльшее число неизвестных, и для нахождения их значений с помощью теоремы, взаимной с первой теоремой Кастилиано, приходится решать системы уравнений с неизвестными перемещениями.

В силу этого взаимная теорема хотя в теории и дает подходящий метод для решения любой статически неопределимой задачи в стиле тех, которые были разобраны выше, но удобна в своем применении только к фермам частного вида. С другой стороны, первая теорема Кастилиано дает простой и непосредственный способ вычисления перемещений в фермах, когда усилия в составляющих ее стержнях статически определимы.

Рассмотрим для примера следующую задачу (Camb. М. S. Т. 1931). Ферма, показанная на рис. 15, прикреплена с помощью шарниров в двух неподвижных точках А к В. В узле фермы С постепенно прикладывается сила Все стержни имеют одинаковую площадь поперечного сечения 5. Можно предположить, что потери устойчивости не происходит. Рассмотрев энергию, запасенную фермой, или иначе, показать, что прогиб конца С равен где модуль Юнга материала фермы.

Если начертить силовые многоугольники, то можно легко найти растягивающие и сжимающие усилия, вызванные в стержнях силой Они будут:

в верхних горизонтальных стержнях, взятых слева направо,

в наклонных стержнях, взятых слева направо,

в нижних горизонтальных стержнях, взятых слева направо,

Отсюда, согласно уравнению (4), упругая энергия, запасенная в стержнях, будет следующей:

Рис. 15.

Отсюда перемещение, «соответствующее» и по теореме Кастилиано равное будет

Пример

2. (Camb. M.S.Т. 1934.) Шарнирная ферма, показанная на рисунке, состоит из нескольких одинаковых равносторонних треугольников, стороны которых равны а. Площади поперечных сечений стержней равны а стержней и равны

Обе половины фермы прикреплены к опорам с помощью шарниров и соединены между собой шарнирно в С. Стержни, показанные пунктиром, устанавливаются после.

Пусть верхний горизонтальный стержень устанавливается так, что он производит распор Требуется показать, что удлинение вызванное этим распором, равно

Пусть площадь поперечного сечения этого вставленного стержня равна А. Найти, насколько его длина должна превосходить первоначальную длину чтобы при его установке на место вызывался бы распор