Теорема трех моментов Клапейрона

70. В заключение этой главы приведем доказательство (на основании первой теоремы Кастилиано) теоремы, высказанной Клапейроном. Теорема относится к прямым балкам, покоящимся на трех и более опорах. Вообще, изгибающие моменты появляются во всех опорах, и если они все известны.

то можно вычислить изгибающие моменты в любом другом сечении. Но изгибающие моменты могут задаваться только в крайних опорах, в других сечениях они определяются жесткостью балки. Теорема Клапейрона делает возможным полное решение задачи, ибо дает соотношение между изгибающими моментами в любых трех последовательных опорах (ср. § 186).

71. В доказательстве, приводимом ниже, мы будем принимать, что жесткость балки при изгибе постоянна. Рассмотрим часть балки, лежащую на трех опорах. Пусть изгибающие моменты в крайних опорах будут и Если балку рассечь по средней опоре, то она станет статически определимой.

Рис. 25.

В средней опоре имеется изгибающее усилие; следовательно, после рассечения на концах каждого из участков появится неизвестный момент Величина определится из условия равенства нулю величины разрыва угла наклона касательной к оси балки в средней опоре. Величина этого разрыва (рис. 25) равна

Условия на левом участке показаны на рис. 26. является (вращающим левую часть балки по часовой стрелке) изгибающим моментом, возникающим вследствие вертикальной нагрузки, а берутся положительными, когда они вращают левую часть балки против часовой стрелки. Суммарный изгибающий момент, вращающий левую часть балки по часовой стрелке, на расстоянии х от левой опоры будет

Поворот по часовой стрелке правого конца (перемещение, «соответствующее» равен:

Рис. 26.

где представляет собой (постоянную) жесткость при изгибе балки (ср. § 48), обозначает площадь эпюры для участка 1—2, а расстояние ее центра тяжести от левого конца.

72. Рассматривая аналогичным образом другой участок, мы найдем, что поворот левого конца против часовой стрелки будет

где обозначает площадь эпюры для участка расстояние ее центра тяжести от правого конца.

Для того чтобы разрыв, величина которого дается выражением (I), обратился в О, мы должны иметь

откуда, используя (III) и (IV), мы найдем, что

Теперь можно определить как функцию В этом и заключается теорема Клапейрона.

Пример

21. (Oxford F. Е. Е. S. 1933.) Используя эту теорему, или каким-нибудь иным путем, найти давление, которое оказывает на ряд стерженьков длинная стальная полоса, продетая между ними так, как показано на рисунке.

Стерженьки можно считать абсолютно жесткими, их диаметр 1,27 см; помещены они на одинаковом расстоянии 30,5 см друг от друга так, что их центры лежат на одной прямой. Полоса стальная, ее ширина 2,54 см и толщина 0,158 см. (Взять равным

73. Если мы имеем равномерно распределенные нагрузки интенсивности и 23. то

и аналогичное выражение имеет место для Если в этом случае все опоры остаются на одном уровне, то соотношение (45) принимает вид:

Пример

22. Получить уравнение, соответствующее когда жесткость при изгибе постоянна по длине одного участка, но меняется от участка к участку. Полученное соотношевие использовать для решения следующей задачи (Camb. М. S. Т. 1930). Модуль Юнга одинаков для всех участков. Пусть четыре жесткие опоры, расположенные на одном уровне. Пролеты между ними соединеггы различными по длине и сечению балками и имеют одинаковую длину а и одинаковый момент инерции, имеет длину и момент инерции Каждая из и несет равномерно распределенную нагрузку, интенсивность которой на единицу длины равна несет равномерно распределенную нагрузку, интенсивность которой на единицу длины

Показать, что нагруженные таким образом балки можно заменить одной балкой постоянного поперечного сечеиия, прикладывая на ее концах моменты величины