Пример механической системы, подчиняющейся закону Гука

23. Для того чтобы было легче понять наши теоремы, иллюстрируем их иа характерном примере. Нам придется выбрать пример несколько специального вида, чтобы избежать олережения результатов, содержащихся в последующих главах и относящихся к внутренним деформациям.

Итак, для иллюстрации наших теорем, выберем такой пример, в котором имеет место закон Гука и не фигурирует жесткость. Решение примера еще больше подчеркнет тот факт, что наши теоремы зависят только от закона Гука совместно с законом сохранения энергии.

Рассмотрим гибкую нерастяжимую висящую нить закрепленную в неподвижной точке А и несущую груз

на свободном конце В. Мы приложим горизонтальные силы в точках, которые находятся друг от друга на расстоянии длины нити (рис. 7).

Под действием этих сил нить отклонится от своего вертикального положения. Пусть общая длина нити будет горизонтальные перемещения точек приложения сил положительные направо, углы, которые образуют различные части нити с вертикалью (рис. 7).

Теперь, введя все обозначения и полагая, что перемещения малы, мы можем написать следующие соотношения:

В случае малых перемещений сила растяжения по всей нити равна и тогда условия равновесия точек 1, 2, 3 будут:

Отсюда с помощью (I) мы имеем:

складывая, получаем:

аналогично:

Таким образом, наша механическая система, пра малых перемещениях, подчиняется закону Гука в том смысле, что приложение какой-нибудь одной силы вызывает пропорциональное возрастание каждого перемещения. Из (III) также видно, что применим принцип суперпозиции.

24. В нашем примере потенциальная энергия запасается при подъеме груза который поднимается в силу отклонения нерастяжимой нити от вертикали. Очевидно, что в отклоненном положении (рис. 7) вертикальное расстояние от А будет равно:

Первоначальное расстояние равнялось 41. Для величины подъема получаем:

Считая малыми, мы для потенциальной энергии силы в отклоненном положении получим значение:

В соответствии с доказанным в §§ 8 - 9 это выражение должно равняться работе, совершенной внешними силами, т. е. половине суммы произведений сил на «соответствующие» перемещения.

Перемещения, «соответствующие» (§ 7), равны:

из (III) мы имеем:

Поэтому

И, если мы подставим сюда значения для из (II), то мы найдем, что выражение в правой части (27) равно (25). Таким образом выражение подтверждается на нашем частном примере.

26. Сравнивая выражение (26) с (9) из § 7, мы найдем, что значения коэффициентов влияния (§ 4) в нашей задаче следующие:

Вспомним, что для этих величин должны иметь место соотношения

Наш пример подтверждает и их справедливость.

26. Для того чтобы иллюстрировать теорему взаимности (§ 12), припишем определенные значения силам Возьмем две различные системы:

Тогда для соответствующих перемещений из (26) мы будем иметь:

Теперь найдем, что

Таким образом, соотношение (17), выражающее теорему взаимности, тоже подтверждается.

27. Формула (27), совпадающая по доказанному с (25), дает выражение полной потенциальной энергии. Она, как легко показать, тождественна с результатом, который можно получить из (19), подставив туда в качестве «коэффициентов влияния» выражения (28). Проверим «первую теорему Кастилиано» (§§ 16, 17). Согласно (27) мы имеем:

Это как раз выражения, даваемые для соотношениями (26). Аналогичным образом из (25), воспользовавшись (IV), мы получим:

что [если мы опять используем для даст выражения, одинаковые с § 23. Таким образом, теорема, взаимная с первой теоремой Кастилиано (§ 18), тоже подтверждена.