Колебания круглой пластинки

529. Применим наш метод еще к одной задаче, а именно к задаче, рассмотренной в §§ 243—244 главы VII. Там мы определяли основные частоты свободных колебаний круглой пластинки, заделанной по краям, предполагая, что форма колебания имеет не зависящий от 6 прогиб.

Согласно обозначениям главы VII мы примем, что прогиб пластинки определяется формулой

где представляет собой функцию, зависящую только от ограниченную в центре пластинки и удовлетворяющую граничному условию

Основным уравнением является уравнение (41) главы VII, а именно:

где

и

потому что форма колебаний не зависит от 6. Умножим это уравнение на и проинтегрируем по от О до а В силу краевого условия (66) после интегрирования по частям получим

Согласно методу Рэлея, мы получим для или точное, или несколько завышенное значение, если подставим в (68) какую-нибудь форму прогиба

530. Прогиб круглой пластинки с заделанными краями под действием постоянной поперечной нагрузки был исследован в § 241 главы VII. Форму прогиба (35), полученную в этом параграфе, примем для нашей оценки, т. е. положим, что

где произвольная постоянная.

Отсюда

Подставив в (68), получим

что дает хорошее совпадение с точным результатом полученным в § 244 главы VII.