Общие замечания о «методе Рэлея»

531. На примерах, рассмотренных в этой и предшествующей главах, достаточно ярко показаны ширина и сила «метода Рэлея» при применении его как к задачам колебаний, так и к задачам устойчивости упругих систем. По существу оба класса задач не отличаются друг от друга. Так, например, в §§ 514-517 силе растяжения можно дать отрицательное значение, и тогда мы будем иметь дело со случаем поперечных колебаний стержня, подверженного действию силы сжатия на концах. Из уравнения (36) видно (в нем теперь отрицательно), что, при возрастании силы сжатия, может переменить знак. Следовательно, период колебания окажется сначала бесконечным, а потом мнимым.

Метод Рэлея можно применить к любой задаче устойчивости упругих систем или свободных колебаний. Прием один и тот же как для задач одного, так и другого класса. Сначала записывается (как в § 503 или в § 509) уравнение энергии, которое удовлетворяется неизвестной нормальной формой. Из него получают выражение для критической силы или собственной частоты в виде отношения двух интегралов или, в некоторых случаях, сумм. Далее в эти интегралы, или суммы, вместо истинной нормальной формы подставляют некоторую, подходящим образом выбранную, форму, удовлетворяющую, граничным условиям задачи. Откуда и получают искомую оценку.

532. Метод теоретически обоснован в главе XIII §§ 480—486 для частного случая продольного изгиба стержня и в §§ 503 —540 настоящей главы для определения «критических скоростей». Такие же доказательства можно провести в каждой задаче о свободных колебаниях или устойчивости упругих систем, т. е. во всех тех задачах, в которых решение основного уравнения удовлетворяет определенным граничным условиям, тогда, и только тогда, когда параметр системы совпадает с одним из «характеристических значений» (Eigenwerte) и, когда каждое характеристическое число может быть выражено как отношение двух интегральных выражений, в которые входит

форма деформации. Изучая доказательства, приведенные в этой главе, мы заметим, что все они предполагают:

1) что существует «бесконечное число нормальных форм»;

2) что произвольное смещение (удовлетворяющее граничным условиям задачи и некоторым требованиям относительно непрерывности) можно разложить в бесконечный ряд по собственным функциям, являющимся нашими нормальными формами (обозначенными в приведенных доказательствах через и т. д.).

В последние годы теоретические основы этих предположений привлекали к себе особенное внимание математиков. Было опубликовано в связи с этим очень много работ. Они выходят за пределы настоящей книги и поэтому мы (следуя Рэлею) будем оправдывать эти предположения следующими соображениями:

1) Система, обладающая конечным числом степеней свободы, имеет собственных частот, каждая из которых связана с частной «нормальной формой».

2) Любое смещение, которое может произойти в такой системе (т. е. удовлетворяющее граничным условиям или заданным связям), как можно показать, выражается в виде конечного ряда из членов, в который входит нормальных форм.

Инженер предполагает, что задача по существу не меняется, когда действительная система с бесконечным числом степеней свободы заменяется идеализированной системой с большим, но конечным числом степеней свободы. Вопросы, возникающие в связи с переходом к бесконечному числу степеней свободы, имеют значительный математический интерес, но мало интересны с чисто физической точки зрения.