Упругая энергия, запасенная анизотропными телами

329. Если упругие свойства материала изменяются с направлением, то материал называется анизотропным. Для таких материалов выражение (19) сохраняется, но выражения (22) и (23) заменяются более сложными выражениями. Это получается потому, что простые соотношения между деформациями и напряжениями (10), в которые входят только две упругие постоянные, — заменяются шестью соотношениями типа (1) или (2), а в них входят тридцать шесть постоянных. Подобно тому как в последнем параграфе, рассмотрим прямоугольный параллелепипед, находящийся в некотором данном напряженном состоянии. Рассматривая, как и раньше, величины

как силы и соответствующие им в смысле главы I, § 29 перемещения, мы можем применить теорему взаимности, доказанную в § 12 главы С помощью этой теоремы мы покажем, что не все тридцать шесть постоянных являются независимыми.

Запишем соотношения (2) полностью:

Заметим, что часть вызванная действием равна а часть вызванная действием равна Таким образом, согласно теореме взаимности, мы можем утверждать, что «сила» действуя на «перемещении» будет совершать ту же работу, что и «сила» действуя на «перемещении» Выражая этот результат в математических символах, мы получим:

Это соотношение должно иметь место в любом случае, и мы видим:

Рассмотрев таким же образом и другие пары напряжений, мы получим, что

где — любые целые числа от 1 до

330. Итак, мы вывели 15 соотношений между коэффициентами равенств (24). Раз так, то число независимых упругих постоянных в случае анизотропного материала не может превосходить 21. Те же 15 соотношений должны иметь место между 36 упругими постоянными, входящими в шесть равенств типа (1). Можно показать, что эти соотношения, как и следовало ожидать, имеют вид

Если в структуре материала наблюдается некоторая симметрия, то число упругих постоянных может быть меньше 21. Существуют, например, такие классы кристаллов, упругие свойства которых можно выразить с помощью 13, 9, 7, 6, 5 и, наконец, 3 упругих постоянных. Читатель может ознакомиться с этим в главе VI «Математической теории упругости» Лява. В нашей книге мы больше не будем касаться анизотропных материалов.