Упругая энергия деформации. Соотношения между коэффициентами влияния

10. Мы пришли к представлению о потенциальной энергии, запасаемой в теле и возвращаемой при желании, в такой форме, в которой эта величина зависит только от характера и величины деформации. Мы назовем ее упругой энергией

деформации. Если силы, необходимые для того, чтобы сохранять равновесие в какой-либо частной конфигурации, и если - «соответствующие перемещения» (§ 7) точек, в которых действуют силы, те общее количество упругой энергии деформации равно

При выводе этого выражения мы принимали, что силы прикладываются определенным способом, но закон сохранения энергии вместе с принципом суперпозиции показывают, что оно должно сохраняться при любом способе приложения сил.

Обращаясь опять к этим основным законам, мы можем показать, что в выражениях (9) обязательно имеют равные постоянные значения. Представим себе, что действуют только две силы и пусть процесс нагружения состоит в приложении сначала силы а затем в обоих случаях столь медленного, что равновесие сохраняется в течение всего процесса. По мере того, как возрастает от нуля до окончательного значения, 8, возрастает от нуля до величины работа, совершаемая при этом будет Когда же затем прикладывается возрастает на величину и — на величину Работа, совершаемая при этом будет а работа, совершаемая (величина которой постоянна в течение второго процесса), равна Таким образом, когда прикладывается раньше общая работа, совершенная двумя силами, действующими на упругое тело, будет равна

Если мы примем, что прикладывается раньше, чем Р, то аналогичные соображения для общей работы, совершаемой обеими силами, дадут выражение

в обоих случаях вся совершенная работа запасается в виде упругой энергии деформации, величина которой должна быть одной и той же, так как окончательная конфигурация сил в обоих случаях одинакова. Таким образом, согласно закону сохранения энергии, соединенному с принципом суперпозиции, мы имеем:

что, согласно (12) и (13), требует, чтобы

11. Результат, выраженный равенством (14), имеет очень большое значение в теории упругости. Обращаясь к определению коэффициентов влияния, данному в § 4, мы можем установить следующее: Если являются перемещениями, которые «соответствуют» силам , приложенным в двух точках упругого тела, то приращение от единичной силы, приложенной в направлении равно приращению от единичной силы, приложенной в направлении

Рис. 5.

Интересное приложение этого результата было дано Рэлеем. Пусть (рис. 5) является консольной балкой. Предположим, что нам требуется экспериментально определить кривую, форму которой примет балка, нагруженная сосредоточенной силой, приложенной в точке 1. Естественно было бы измерить прогибы, вызванные силой в

некотором числе точек Обычно эти прогибы очень малы, и для их точного измерения необходимо было бы установить визирную трубу для наблюдения над отметкой в каждой из указанных точек. С другой стороны, наша теорема устанавливает, что вертикальный прогиб, вызванный в точке 2, равен прогибу, который вызовет в точке 1 вертикальная сила той же величины, приложенная в 2. Следовательно, мы можем достичь нашей цели, установив только одну визирную трубу для наблюдения над отметкой в точке 1 и прикладывая силу последовательно в точках