Плоское напряженное состояние

403. Теперь вместо очень длинного цилиндра § 400 рассмотрим очень короткий цилиндр, т. е. пластинку. Пусть ось направлена перпендикулярно граничным плоскостям пластинки. Примем, как и раньше, что направления приложенных массовых сил и поверхностных напряжений перпендикулярны Вместе с тем мы предположим, что торцы цилиндра, т. е. плоскости пластинки, совершенно не напряжены. Согласно нашим предположениям, мы имеем задачу о пластинке, которая растягивается силами, лежащими в же собственной плоскости. Толщину пластинки обозначим начало координат поместим в срединной поверхности и напишем следующие основные условия:

Если пластинка тонкая, т. е. мало, то, очевидно, что будут всюду малы. Это соображение дает нам

возможность упростить общие уравнения. Воспользуемся «полуобратным» методом Сен-Венана (гл. XI, § 332) и предположим, что условия (9) имеют место во всех точках пластинки. В этом случае мы придем к так называемому плоскому напряженному состоянию.

404. Мы сведем уравнения в напряжениях опять к форме (2), если мы точно так же, как и раньше, заменим члены с ускорением эквивалентными массовыми силами, направления которых перпендикулярны Если массовые силы имеют потенциал, то мы сможем удовлетворить уравнениям, положив:

Деформации теперь подчинены новым условиям, и мы не можем предполагать, что функция X удовлетворяет тому же уравнению (8).

Первое и второе из условий (9) требуют, чтобы были нулями, а поэтому условия совместности, т. е. уравнения (12) главы IX сводятся к

Согласно третьему из условий (9), компонент напряжения равен нулю, и мы имеем:

где [согласно (7)]

Подставим эти выражения в условия совместности (10), и, используя соотношения (7), получим:

или

405. В § 403 мы предположили, что массовые силы не имеют компонентов в направлении оси т. е. должна обращаться в нуль, а тогда второе и третье условия (12) показывают, что зависит только от Следовательно, согласно первому из условий (12), функция в может быть записана в такой форме:

где функция является гармонической функцией двух переменных е. зависит только от z. Равенство (14) заменяет три равенства (12).

Сложив первое и второе из условий (13), мы получим:

Подставив сюда значение X из формул найдем:

Последнее равенство имеет место в силу формулы (14). Потенциал 2 не зависит от производная не зависит от ; следовательно, обе части последнего зфавнения не могут зависеть ни от х, ни от у, ни от z. Отсюда вытекает, что потенциальная функция удовлетворяет уравнению:

где постоянная.

И мы имеем:

функция в является четной функцией z, и поэтому произвольная функция в выражении (14) имеет вид:

равна нулю, если массовые силы отсутствуют.

406. Если для производной взять выражение (16), то из условий (13) можно получить, что

Функция X подобно должна быть четной функцией z, а поэтому, основываясь на выражении (14), мы можем написать:

где функция не зависит от (члены функции X, зависящие только от а также члены, содержащие в первой степени, опущены, так как они, согласно выражениям (7), не оказывают влияния на компоненты напряжения).

Наконец, подставив формулы (14), (15), (17) и (18) в соотношение (11) между и мы найдем, что

где — гармоническая функция двух переменных, а поэтому отсюда следует, что X, должна удовлетворять следующему уравнению:

Последнее равенство имеет место в силу (15), Из соотношения (18) вытекает, что