Типовые решения для функции напряжений плоской деформации или плоского напряженного состояния
419. Все члены в левой части уравнения (33) имеют относительно 
один и тот же порядок, поэтому вполне естественно попробовать удовлетворить уравнению, предположив, что функция X имеет вид:
в котором величины 
к А постоянны, а функция 
зависит только от 0. Приняв это предположение, получим:
(штрихи означают дифференцирование по 6). Оператор 
обратится в нуль, и принятое нами выражение для функции X будет являться типовым решением (33), если
или если
где через 
обозначен оператор 
Уравнение (II) имеет место, когда
Отсюда следует, что в качестве типового решения можно взять:
где 
произвольные постоянные.
С другой стороны, если мы предположим, что 
в принятой для X форме (I) является 
или 
то мы найдем, что 
будет обращаться в нуль, когда
или когда
Таким образом имеем другие формы типовых решений:
где 
произвольные постоянные.
420. Число постоянных в выражении (34) для типового решения уменьшается при 
или 
В этих обоих случаях уравнение (II) сводится к следующему:
Его линейно независимые решения: 
следовательно, квадратная скобка выражения (34) примет вид:
сюда, как и раньше, входят четыре независимые постоянные. Подобным же образом в выражение (35) число независимых постоянных уменьшается при 
В этом случае функция X не зависит от 6, основное уравнение (33) сводится к
Проинтегрировав, имеем:
Таким образом, в решение опять входят четыре произвольные постоянные. Для этого решения:
Мы еще должны специально исследовать выражение (35) в случае 
Основное уравнение (33) теперь сведется к виду:
Проинтегрировав, получим следующее типовое решение
Оно, как и раньше, содержит четыре произвольные постоянные. Для него имеем:
Если вместо 
действительного взять 
чисто мнимое, то в выражении (35) множители 
заменятся показательными функциями 
члены вида 
членами вида 
Таким образом в качестве новой формы типового решения можно взять:
где 
произвольные постоянные. Типовым решением в форме (40) мы не будем пользоваться в этой книге.
