Принцип Сен-Венана
92. Нами было доказано, что упругая энергия принимает наименьшее значение, удовлетворяющее условиям задачи в следующих случаях: (а) когда упругая энергия является следствием наложения заданных перемещений, 
когда упругая энергия всецело зависит от начальных напряжений, т. е. когда не действуют внешние силы и (с) когда она всецело зависит от внешних сил и тело вначале свободно от напряжений.
Более того, мы показали, что принцип суперпозиции сохраняется для сил, приложенных к телу с начальными напряжениями. Из принципа суперпозиции и из (с) следует, что добавочные перемещения, вызванные в теле с начальными напряжениями в результате действия внешних сил, будут такими, что соответствующая им упругая энергия имела бы наименьшее значение, если эти перемещения возникли бы в теле той же формы, но без начальных напряжений.
Все эти выводы имеют место для любого тела, подчиняющегося закону Гука, и не зависят от формы и размеров тела. Поэтому стремление материалов всегда принять (в пределах заданных условий) конфигурацию, соответствующую минимальной упругой энергии, мы можем рассматривать как общее свойство материалов, подчиняющихся закону Гука.
93. Теперь рассмотрим длинный стержень или балку (не обязательно постоянного поперечного сечения или однородного материала), изгибаемую моментами, приложенными на концах. Моменты можно приложить бесконечным числом способов в соответствии с бесконечным числом способов распределения сил, дающих результирующую пару. Можно думать, что характер деформации будет различным в каждом случае. Но во всех случаях деформация определяется тем условием, что соответствующая ей полная упругая энергия деформации имеет наименьшее из возможных, удовлетворяющих наложенным условиям, значений. Наложенные условия в каждом из наших случаев отличаются только в области приложения сил. Для равновесия необходимо только, чтобы в средней части балки усилия имели заданную результирующую, т. е. момент заданной величины. Следовательно, в средней части балки деформация будет приблизительно такого типа, который требует наименьшего запаса упругой энергии, при условии передачи данного результирующего момента. Отсюда мы можем заключить, что деформация во всех рассматриваемых случаях будет приблизительно одна и та же в частях балки, не примыкающих непосредственно к концам, несмотря на то, что на концах она удовлетворяет специфическим условиям, характеризующим каждый частный случай.
Изложим это несколько иначе. Предположим, что А представляет собой те части тела, в которых приложены силы, В — остальные части тела.
Условия равновесия требуют, чтобы результирующее усилие, развиваемое в В, имело определенную величину. Деформация определяется другим основным условием, а именно: полная упругая энергия, запасенная в 
должна иметь минимальное значение. Тогда, очевидно, что деформации, имеющие, место в действительности в конфигурации равновесия, удовлетворяют несколько компромиссным между требованиями со стороны частей тела А к В условиям. Для того чтобы уменьшить до минимума упругую энергию, запасенную в А, реакции между А к В должны распределяться таким способом, характер которого зависит от распределения
сил, приложенных к А. С другой стороны, требование части В (как бы ни были распределены силы в А) не изменяется, потому что В представляет собой первоначально свободное от напряжений тело, которое затем деформируется так, что запас упругой энергии, вызванный передачей данного результирующего усилия, является минимальным.
Процесс соединения этих двух условий, оканчивающийся действительной конфигурацией равновесия, мы образно можем представить себе как поединок между ненагруженными и нагруженными частями тела. Первые всегда борются за «стандартизацию», вторые для каждого заданного распределения сил, приложенных к ним, требуют специального решения. По мере того как от областей, в которых приложены силы, мы через последовательные сечения переходим к ненагруженной части тела В, мы замечаем, что все сильнее и сильнее становятся требования стандартизации. Поэтому деформация, независимо от способа распределения сил по поверхности нагруженной части А, все больше и больше приближается к некоторому стандартному типу.
94. Доказательства предшествующих параграфов сохраняются для любого типа нагрузки, имеющего одну и ту же результирующую силу в каждом сечении продолговатого тела. Обобщив наши результаты, мы придем к доказательству принципа, данного Сен-Венаном. В последующих главах мы часто будем к нему обращаться.
Принцип известен как «принцип упругой равнозначности статически эквивалентных систем сил» или, короче, как «принцип Сен-Венана». Под статически эквивалентными системами подразумевают те системы, которые имеют одну и ту же результирующую. В предшествующем исследовании это были такие системы сил, которые, будучи приложены в 
вызывали передачу заданного результирующего
момента в В. Под «упругой равнозначностью» понимают эквивалентность в отношении вызванной деформации. Принцип Сен-Венана утверждает, что статически эквивалентные системы сил для практических целей могут рассматриваться, как упруго эквивалентные во всем теле за исключением той области, в которой приложены силы, и ее непосредственной окрестности. Другими словами, салы, приложенные в некоторой части упругого тела, вызывают в теле напряжения, которые, за исключением области, близкой к этой части, почти полностью зависят от результирующей силы и очень мало — от распределения самих сил.
Несколько другая формулировка принципа гласит:
Если к малой части тела приложена система сил, эквивалентная нулю, то деформации, вызванные ею в теле на большом по сравнению с линейными размерами этой области расстоянии, имеют пренебрежимо малую величину.
Это следует (по принципу суперпозиции) из прежнего утверждения (см. курси»), так как любую уравновешенную систему сил можно рассматривать как разность двух систем, имеющих одну и ту же результирующую. Там, где эффекты действия этих двух систем в основном тождественны, эффект действия их разности в основном равен нулю. Повидимому принцип Сен-Венана, как первоначально был предложен, так и сейчас еще остается без строгого доказательства. Но предшествующие рассуждения показывают, что он имеет прочное теоретическое обоснование.
Для инженера он очень ценен. Известно, что различные способы приложения заданного усилия вызывают в нагруженном теле различные деформации. Согласно же принципу Сен-Венана эта разница неощутима во всем теле за исключением ограниченной области и поэтому имеет для практики малое значение. Определяя деформации, являющиеся следствием заданных сил, мы можем заменить эти силы любой «статически эквивалентной» системой и притти к практически верному решению. Статически эквивалентную систему можно выбрать наиболее удобным для данной задачи образом. На этом основан известный «полуобратный» метод Сен-Венана решения задач теории упругости. Он будет изложен в последующих главах.
