Стойки переменной жесткости при изгибе. Сопряженные соотношения

485. Если мы имеем стержни с постоянной жесткостью при изгибе, то метод Рэлея для вычисления критических сил применять не нужно, так как их значения могут быть найдены точно. Но когда жесткость при изгибе зависит от уравнение (1) часто не может быть точно проинтегрировано, и метод Рэлея становится крайне полезным, потому что с его помощью без большого труда можно оценить Ошибка при этой оценке может быть сделана малой и полученное для значение всегда превосходит истинное. При выводе условия (32), мы не предполагали, что жесткость В постоянна, и поэтому физическая интерпретация этого условия не изменится, если мы примем, что жесткость меняется по длине стержня.

Уравнение (33) можно также обобщить. Предположив, что у можно разложить в ряды вида

где неизвестные формы продольного изгиба, мы опять придем к выражению (35). Конечно, формы переменной х больше не являются синусоидами. Функции представляют собой решение уравнения (1) при заданном распределении В и значении равном (неизвестной) критической величине Соотношения

сохраняются, ибо по определению мы имеем

а отсюда

Проинтегрировав по частям, получим

Величина в квадратных скобках обращается в нуль как при верхнем, так и при нижнем пределах интегрирования. Равенство (II) принимает вид:

А отсюда, если мы имеем I I

и, согласно (I),

Соотношения (38) нами выведены.

Выражения типа (36), как можно показать, также сохраняются. Таким образом, мы опять приходим к выражению вида (37), из которого следуют выводы §§ 483—484. Итак, мы получили, что можно оценить с помощью выражения (33) на основании принятой формы для у независимо от того, будет ли В постоянной или какой-нибудь заданной функцией x. Полученное таким образом значение для будет или равно или больше истинного значения силы

486. Соотношения, выраженные равенствами (38), известны как сопряженные соотношения. Как мы видели, они существенно зависят от нашего предположения о том, что функции каждая по отдельности, обращаются в нуль на обоих концах стержня. Кроме того, в доказательстве § 482 мы предполагали, что отношение (35) эквивалентно отношению (33), т. е. мы допускали законность дифференцирования ряда (34).

Поэтому наша теория будет иметь место лишь тогда, когда принятая для у форма удовлетворяет обоим условиям шарнирного закрепления, а именно:

Если хоть одно из условий не соблюдается, то мы не можем ожидать хорошей оценки.

Рассматривая задачу с физической точки зрения, мы видим, что для удержания в равновесии кривой прогиба, кривизна которой не равна нулю на концах стержня, к последним нужно приложить моменты. Тогда только часть упругой энергии изгиба будет являться следствием работы силы сжатия на концах. Другая ее часть будет являться следствием работы упомянутых моментов. Используя уравнение (32), мы молчаливо предполагали (см. § 480), что работа силы сжатия при сближении концов стержня учитывает всю упругую энергию изгиба. Таким образом мы пренебрегали той частью упругой энергии, которая обусловлена приложенными на концах стержня моментами. Если эти моменты действуют, то, пренебрегая их влиянием на упругую энергию, мы получим преувеличенную оценку искомой осевой силы сжатия.

В примере, помещенном в конце § 484, форма, принятая для у, удовлетворяет первому, но не удовлетворяет второму из условий на концах. Поэтому, как и следовало ожидать, мы получаем слишком завышенную оценку. Возьмем другую форму, а имеино, положим, что

отсюда

Оба условия на концах удовлетворяются. Продифференцировав, получим:

Выражение (33) дает следующую оценку: I

Раньше в § 484 мы привели точный результат, а именно:

Таким образом полученное для значение превышает истинное, только теперь величииа ошибки будет немногим больше

Пример

6. Используя только что принятую форму для у, оценить для стержня, обладающего симметрией относительно его среднего сечения и имеющего переменную жесткость при изгибе. На половине

длины стержня жесткость при изгибе меняется после-

дующему закону:

так что на каждом из концов и в среднем сечении стержня. приближенно.

Функции обладают симметрией относительно среднего сечения, следовательно, пределы интегриропания в выражении (33) можно взять равными