Приближенная формула, полученная методом Рэлея

605. Если оба конца вала шарнирно закреплены, то простейшей допускаемой для у формой будет:

Подставив ее в равенство (5), мы для оценки получим формулу:

(cp. уравнение (40) главы XIII).

К этой формуле удобно применять графические или численные методы интегрирования. Заметим, что она будет точной при постоянных. Что касается других случаев, то мы не можем предполагать, что она даст достаточно хорошие результаты, потому что принятая форма для у не учитывает изменения по длине вала. Рассмотрим способы, с помощью которых это можно учесть.

606. В правую часть уравнения (1) вместо ту можно подставить где А произвольно. Получим уравнение:

Его решение удовлетворяет соотношению

так что выражение (5) можно записать в такой форме:

где у является решением уравнения удовлетворяющим граничным условиям задачи. Прогиб, согласно уравнению пропорционален А, следовательно А никак не повлияет на оценку и поэтому ее сразу же можно опустить в соотношениях (11) и (12).

507. Обычно получают хорошее приближение для когда берут для у ту форму прогиба, которую принимает ось невращающегося вала под действием его собственного веса.

Эта форма прогиба удовлетворяет уравнению

отсюда, умножив обе части на у а проинтегрировав, получаем:

Если граничные условия такие же, как в § 503, то величина в квадратной скобке равна нулю. Воспользовавшись соотношением (14), мы из равенства (5) будем иметь:

где у удовлетворяет уравнению (13) и граничным условиям задачи.

Применив этот метод к шарнирно закрепленному валу с постоянными мы получим уравнение (13) в таком виде:

Формула (15) сведется к

Подставив (1), имеем

Точная формула (2) дает

Таким образом мы внднм, что наша оценка для имеет коэффициент на 0,0072 превышающий точный коэффициент т. е. мы имеем ошибку

Примеры

1. Проверить, что метод § 506 дает правильный результат при постоянных.

2. Методом § 507 оценить наименьшую критическую скорость вала длины постоянного поперечного сечения постоянны), когда оба конца вала заделаны, (Ь) один конец заделан, а другой свободен.

Сравнить результаты с результатами точных вычислений (гл. VI, §§ 215—218) и в каждом отдельном случае найти в процентах получающуюся при оценке ошибку. в случае в случае

3. Методом § 507 оценить наименьшую критическую углопую скорость вала, одии конец которого заделай, а второй свободен. Масса и жесткость при изгибе вала изменяются соответственно по следующим законам

4. Проверить формулу

которую применяют для оценки наименьшей критической скорости вала, концы которого опираются любым образом и который несет сосредоточенные в точках его длины массы В этой формуле являются значениями статических прогибов в точках оси вала, нагруженных сосредоточенными массами под действием веса последних.

5. Массой и весом вала в сравнении с массами в приведенной выше формуле пренебрегают. Как следует изменить формулу, чтобы учесть их?