ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ XI

Приближенные решения задан кручения и изгиба

Мембранная аналогия Прандтля задачи кручения

386. Функция кручения 9 (§ 341) математически точно определена только для ограниченного числа контуров, и только некоторые из этих контуров интересны в технике. Приближенные результаты можно получить из эксперимента, если вместо гармонической функции двух переменных мы будем искать сопряженную ей функцию Функция определяется следующими соотношениями:

отсюда следует, что

т. е. тоже является гармонической функцией двух переменных.

С помощью (71) граничные условия (14) § 338 могут быть записаны так:

(см. рис. 97), отсюда следует, что во всех точках контура

Введем новую функцию

Из уравнения (71) следует, что во всех точках поперечного сечения удовлетворяет уравнению:

а во всех точках контура [согласно (72)] условию

387. Уравнения, которым удовлетворяют и встречаются во многих задачах математической физики. В частности, как впервые было замечено Прандтлем, можно считать, что функции и входящие в наши уравнения, в любой точке внутри контура дают малый прогиб гибкой мембраны, растяжение которой постоянно во всех направлениях. Давления на противоположных поверхностях мембраны имеют одно и то же значение, когда мы имеем дело с уравнением (71), и отличаются на постоянную величину в случае уравнения (73). Мыльная пленка, благодаря наличию поверхностного натяжения, представляет собой мембрану с таким постоянным растяжением. Если мы приложим малое и постоянное давление к одной из ее поверхностей и не будем допускать смещения точек границы, то прогиб будет удовлетворять условию, наложенному на функцию С другой стороны, если мы подчиним прогиб на границе условию (72) и на обе поверхности мембраны подействуем одним и тем же давлением, то прогиб будет удовлетворять условиям, наложенным на функцию Какой бы из этих пзггей мы ни избрали, если мы из опыта определим прогибы мембраны внутри контура, то получим экспериментальное решение задачи кручения для контура любой нужной формы.

Практические приложения

388. Эти соображения были практически осуществлены А. А. Гриффисом и Д. И. Тейлором в 1917 г. Эксперимент проводился следующим образом. Над отверстием нужной формы, сделанном в плоском металлическом листе, помещалась мыльная пленка. Она подвергалась действию струи воздуха так, чтобы ее прогиб удовлетворял уравнению относительно Значения прогиба измерялись иглой, которая прикреплялась к микрометру и приводилась в соприкосновение с пленкой.

градиенты функции дающие касательные напряжения, вызываемые при кручении, определялись посредством измерения углов наклона пленки (на поверхность пленки направлялся луч света и измерялся угол отражения).

Необходимость измерять давление и величину поверхностного натяжения обошли следующим образом: одновременно приложили то же самое давление и к другой мыльной пленке, натянутой на круглое отверстие. Если степень кручения была одинакова, то сравнение углов наклона в двух пленках давало отношение соответствующих напряжений (§ 340).

Полное описание эксперимента содержится в «Теории упругости» Тимошенко. Провести измерения с большой точностью крайне трудно, потому что мембранную аналогию (§ 387) можно применить только тогда, когда наклон поверхности мыльной пленки всюду мал. Кроме того, прогиб, вызванный весом пленки, обычно сравним с прогибом, вызванным приложенным давлением, если последнее достаточно мало.

Теоретические приложения

389. В главе VI (§ 185) для теоретического решения некоторых задач об определении прогиба в балках мы использовали «веревочную» аналогию. Таким же образом, мембранную аналогию Прандтля можно положить в основу приближенного теоретического решения задач кручения.

В § 386 мы видели, что функцию можно интерпретировать как прогиб мембраны, нагруженной равномерным давлением, приложенным к одной из ее поверхностей. Эта функция во всех точках поперечного сечения удовлетворяет уравнению:

и во всех точках контура условию

Из формул (10) § 336 мы видим, что напряжения, соответствующие кручению, следующие:

Постоянная (§ 340) является степенью кручения. Наконец, из формулы (17) § 339 и уравнения (71) мы имеем следующее выражение для «модуля кручения».

Воспользовавшись преобразованием Грина получим:

Двойной интеграл распространен на всю площадь поперечного сечения, а криволинейный — на весь контур поперечного сечения.

Сплошные поперечные сечения

390. Функция согласно условию (73), имеет постоянное значение вдоль любого замкнутого контура. Если вал сплошной, т. е. коптур поперечного сечения состоит из одной замкнутой кривой, то, не нарушая общности, мы можем принять, подобно тому как это делалось в экспериментальном методе

§ 387, что на контуре обращается в нуль. Это справедливо, потому что аддитивная постоянная в функции не влияет на напряжения, определяемые формулами (74), и не влияет на модуль кручения, определяемый формулой (75). Рассмотрим криволинейный интеграл, входящий в формулу (75). Функция имеет на контуре постоянное значение, скажем, т. е. имеем:

Если вновь применить преобразование Грина, то этот интеграл будет равен

Таким образом, если сечение сплошное и мы предполагаем, что в каждой точке контура обращается в нуль, то вместо формулы (75) имеем

Полые поперечные сечения

391. Если поперечное сечение вала ограничено двумя замкнутыми кривыми, как, например, на рис. 103, то мы, не нарушая общности, можем принять, что исчезает в точках внешнего контура, но мы не имеем права считать, что равно нулю также и в точках внутреннего контура. Мы только знаем, что на внутреннем контуре имеет некоторое постоянное значение, скажем, При выводе формулы (75) мы брали нормаль, внешнюю к контуру поперечного сечения; эта нормаль, будучи внешней для внешнего контура, будет внутренней для внутреннего. Учитывая это замечание (см. рис. 103), криволинейный интеграл по внутреннему контуру поперечного сечения, входящий в формулу (78), мы можем заменить выражением (76) с противоположным знаком, т. е. вместо формулы (75) будем иметь;

Рис. 103,

где через А обозначена площадь, ограниченная внутренним контуром. Итак, если мы примем, что во всех точках области, ограниченной внутренним контуром, имеет постоянное значение, то выражение (77) будет справедливо как для сплошных, так и для полых поперечных сечений.

392. При проведении мембранной аналогии мы истолковали функцию как прогиб мембраны, находящейся под действием постоянного натяжения на единицу длины, когда к одной из ее поверхностей приложено постоянное давление интенсивности на единицу площади. Применив преобразование Грина к уравнению (73), мы получим формулу

которую можно интерпретировать следующим образом: полная поперечная сила, вызванная натяжением за счет наклона мембраны на контуре, уравновешивает постоянное давление, действующее по всей площади, заключенной внутри контура мембраны. Этот результат дает нам возможность осуществить опыт с мыльной пленкой (§ 388) в случае полого поперечного сечения и вместе с тем дает условие, из которого определяется в формуле (78). Так, представим себе, что легкая жесткая пластинка С (см. рис. 104), имеющая форму внутреннего контура, может свободно передвигаться параллельно самой себе, т. е. так, что перемещение каждой ее точки одно и то же по направлению, но величина его ничем не ограничена. Между пластинкой и неподвижным внешним контуром натягивается мыльная пленка. К пленке и пластинке прикладывается равномерное давление. Система занимает положение равновесия.

Рис. 104.

Тонкостенные трубы

393. Применим наши результаты к тонкостенным трубам. В этом случае наклон поверхности мыльной пленки между внутренним и внешним контурами поперечного сечения практически постоянен. По направлению нормали к внутреннему и внешнему

контурам наклон приближенно выразится величиной где толщина трубы в рассматриваемой точке. Согласно формуле (79), мы будем иметь;

где имеет то же значение, что и в § 391. Результирующее касательное напряжение, согласно формулам (74), будет направлено по касательной к контуру и его интенсивность равняется

Результирующий крутящий момент, согласно (16) и (77), определяется формулой:

Эта формула очень точна, так как мы пренебрегаем в той частью (относительно малой), которую дает площадь между внутренним и внешним контурами. Из (II) и (III) мы получим, что

Таким образом мы подтвердили соотношение, найденное нами из других соображений в § 161. Из формул (I) и (II) мы имеем:

Последнее равенство имеет место при постоянном через обозначена длина внутреннего контура. Наконец, из формул (80) и (81), исключая мы получим:

Формулы (81) и (82) подтверждают результаты, выраженные соответственно формулам (13) и (12) § 162.

Решение задачи кручения с помощью метода энергии

394. Вернемся к § 392 и заметим, что когда мембрана под действием давления находится в равновесии, то полная потенциальная энергия системы, согласно общей теореме механики, указанной в § 19, должна иметь минимальное значение. Потенциальная энергия растяжения равна (ср. § 494)

а потенциальная энергия давления -нагрузка на единицу площади):

Отсюда мы видим, что истинным выражением для будет то, при котором

имеет минимальное значение.

С помощью вариационных методов из этого условия можно получить основное уравнение (73), и оно же дает возможность определить приближенным методом. Выразим в виде ряда

Ряд составлен так, что каждый его член удовлетворяет граничному условию и содержит неизвестный множитель а. Далее составим соответствующее выражение для V, и наконец, определим из условия минимума потенциальной энергии Последовательность действий нашего метода близка к последовательности действий в процессе применения второй теоремы Кастилиано к статически неопределимым фермам (гл. III).

примеры применения этого метода можно найти в «Теории упругости» Тимошенко.

Мембранная аналогия Тимошенко задачи изгиба

396. Соображения, положенные в основу мембранной аналогии, были обобщены Тимошенко и применены им к более трудной «задаче изгиба» (§ 350). Пусть как и в § 386, является гармонической функцией двух переменных, сопряженной с функцией 9. Через С обозначим функцию, сопряженную с X, которая, как было показано в § 350, является гармонической функцией двух переменных. Таким образом, по определению, мы имеем:

откуда:

Подставив эти соотношения в (35) и применив (71), мы найдем, что

где

Функции зависят только и связаны уравнением

Функции и с — гармонические функции двух переменных, а поэтому, используя (III), мы найдем уравнение, определяющее Ф:

Подставив уравнение (83) в граничное условие (13), мы получим:

396. Функция пока не определена. Обратившись к выражениям для смещений (38) § 353, мы сможем дать физическое толкование двум другим членам правой части уравнения (84).

Мы найдем, что

откуда

Первый член в правой части (IV) соответствует степени изменения с изменением вращения, получающегося от антикластической кривизны (ср. §§ 170, 345 и 353). Второй соответствует углу поворота, вызванному крутящим моментом.

397. Если контур симметричен относительно оси у, то возможно выбрать так, что правая часть условия (85) обратится в нуль; после этого будет определена вся правая часть уравнения (84) и функцию можно будет интерпретировать как прогиб мембраны, которая помещена над отверстием в плоской пластинке, растянута действием постоянной силы и нагружена давлением, зависящим в каждой точке только от и пропорциональным:

Это и есть мембранная аналогия Тимошенко. Определенную выше функцию можно назвать функцией изгиба Тимошенко. Если сечение симметрично относительно оси X и нагрузка действует в плоскости то в силу соображений симметрии член с можно опустить.

Пример

8. С помощью мембранной аналогии Тимошенко решить задачу изгиба для сечения, ограниченного окружностью и нагруженного силой, проходящей через центр сечения так, что кручения не происходит.

[Правая часть уравнения (85) обратится в нуль, если мы возьмем и тогда выражение справа в (84) сведется равно нулю) к

Граничное условие будет удоплетпорено, если взять

где любая функция только одного у; уравнение (84) будет удовлетворяться, если мы возьмем

Таким образом, мы имеем

Отсюда, согласно формулам (33), мы пайдем, что

Полученные результаты можно сравнить с результатами, найденными классическим методом (пример

398. С другой стороны, мы можем выбрать так, чтобы правая часть уравнения (84) обратилась в нуль, т. е. мы можем написать:

Тогда будет гармонической функцией двух переменных, уже не обращающейся в нуль на контуре. Она будет

однозначной на контуре, если ось у проходит через центр тяжести поперечного сечения, так как из условия (85) мы имеем:

Член выражает статический момент площади поперечного сечения относительно оси а он в нашем случае равен нулю. Следовательно, можно выразить как функцию только у.

Постоянный член в формуле (I) не существенен, а член с представляющий крутящее усилие, можно опустить, если поперечное сечение симметрично. Таким образом в нашем случае из равенства (86) мы получим, что во всех точках контура

Решение задачи изгиба способом мыльной пленки

399. Воспользовавшись уравнением (87), мы можем применить способ мыльной пленки (§ 388) к задаче изгиба. Функция является гармонической функцией двух переменных, следовательно, не нужно прикладывать давления к пленке, растянутой над отверстием нужной формы. Это отверстие вырезано в пластинке, изогнутой таким образом, что прогиб на контуре отверстия имеет удовлетворяющие граничным условиям значения. А. А. Гриффис и Д. И. Тейлор исследовали с помощью этого метода различные формы контуров. Их работы изложены в «Теории упругости» Тимошенко

Применение методов релаксации к задачам кручения и изгиба

399 А. Метод релаксации (§ 106) можно обобщить и применить к любой задаче, основное уравнение которой записывается в такой форме:

Функция в этом уравнении известна. Уравнение интегрируется при некоторых граничных условиях, т. е. при заданных на границе значениях или Таким образом вместе с приближенным способом мыльной пленки (§ 388) мы имеем другой приближенный метод, который, повидимому, может дать ббльшую точность. Более того, этот новый метод можно применять к напряженному состоянию за пределом пропорциональности, т. е. к более трудной задаче. Метод частично изложен в главе XII моей книги «Relaxation Methods»