Сопряженные соотношения

504. Согласно методу Рэлея, мы получим оценку для (0,, подставив некоторую принятую форму для у в равенство (5). Представление о характере допускаемой ошибки и ее величине можно получить тем же методом, что и в предыдущей главе. Пусть, как и раньше, у можно представить в виде ряда

где К], являются неизвестными формами нормальных колебаний для рассматриваемого вала при заданных граничных условиях. Тогда, подобно соотношениям (36) главы XIII, получим

«Сопряженные соотношения» в нашем случае запишутся так:

при т. е., когда представляют собой формы нормальных колебаний, удовлетворяющие уравнению (1) при разных значениях а именно:

Для того чтобы вывести соотношения (6) и (7) мы

заметим, что

в выражениях (V) и (VI) обе величины, заключенные в квадратные скобки, обращаются в нуль, если концы вала закреплены так, что силы реакции в опорах не влияют на упругую энергию (ср. § 503). Из выражения отождествив мы получим соотношение (6), а из выражения (VI), воспользовавшись вторым из уравнений (IV), имеем

Следовательно (ср. § 482 главы XIII), мы можем преобразовать равенство (5) так, чтобы оно имело следующий вид:

А это показывает, что и что относительная ошибка будет величиной второго порядка малости, если будут величинами первого порядка малости по отношению к Следовательно, выражение (8) можно использовать для оценки когда для у принята некоторая подходящим образом выбранная форма. Мы видим, что наше доказательство, так же, как и в § 486 главы XIII, пройдет только тогда, когда допускаемая для у форма удовлетворяет вгем граничным условиям,