ГЛАВА XI. РЕШЕНИЯ ОБЩИХ УРАВНЕНИЙ
331. В этой главе мы на частных примерах проиллюстрируем те методы решения общих уравнений теории упругости, которые были кратко перечислены в § 327 главы X.
Сначала напомним замечания, сделанные в § 309 главы IX относительно «уравнений совместности для деформаций». Иногда случается так, что соображения общего характера, например, соображения симметрии, дают возможность для компонентов напряжения получить выражения, удовлетворяющие условиям равновесия и граничным условиям задачи. Выполнение этих условий необходимо, но не недостаточно, потому что в действительности они налагают только три условия на шесть независимых компонентов напряжения. Прежде чем принять некоторое напряженное состояние, как правильное решение ншей задачи, мы должны удостовериться в том, что соответствующие ему деформации могут произойти в теле без начальных напряжений. Это значит, что мы должны убедиться в совместности полученного напряженного состояния с однозначными значениями компонентов смещения 
Такую проверку проводят с помощью уравнений совместности. Если они удовлетворяются так же, как уравнения равновесия и граничные условия, то мы можем, не вычисляя действительных значений компонентов смещения, принять полученное нами напряженное состояние, как решение поставленной задачи.
ПОЛУОБРАТНЫЙ МЕТОД СЕН-ВЕНАНА
332. Только что сделанные замечания можно иллюстрировать на примере, который вместе с тем будет служить объяснением «полуобратного» метода Сен-Венана (см. главу X, § 327).
Мы воспроизведем в основных чертах знаменитое исследование Сен-Венана задач о чистом изгибе, кручении и изгибе поперечной силой изотропных цилиндров заданного поперечного сечения.
В главе I мы, как первую задачу, теоретически рассмотренную в сопротивлении материалов, отметили задачу о балке, один конец которой заделан, а другой нагружен силой. Это была задача о балке, подверженной действию постоянной перерезывающей силы. До Сен-Венана упомянутая задача привлекала внимание многих математиков. В частности, ею занимались Кулон и Коши. В то же время были предложены также решения задачи кручения, но все они были получены с помощью методов, основанных на сомнительных предположениях. Полученные решения, в свете современных знаний справедливы при некоторых ограничениях, но последние тогда не были ясно сформулированы. Сен-Венан первым ввел задачи об изгибе и кручении в область общей теории (которая приобрела свой законченный вид после того, как Навье вывел общие уравнения теории упругости.
Сен-Венан заметил, что практически известно результирующее усилие, действующее на тело, а не точный способ его распределения. Поняв это, он стал различать первичные
эффекты, а именно те, которые зависят от результирующей нагрузки, от вторичных эффектов, зависящих от слособов ее распределения.
Введение этого различия ясно сформулировано в его принципе «упругой равнозначности статически эквивалентных систем нагрузок» (гл. III, §§ 92—94). Оно дает возможность упростить точные уравнения Навье с помощью некоторых предположений, которые с математической точки зрения ограничивают область справедливости получившегося решения, но не уменьшают его практической ценности. Наиболее важное из этих предположений заключается в том, что распределение напряжений по поперечному сечению цилиндрического тела, как, например, балки постоянного поперечного сечения, не зависит от расстояния по оси. Мы видели (§ 95), что решение, обладающее этим свойством, соответствует минимальному значению упругой энергии, запасенной под действием данного результирующего усилия.
