Кручение цилиндрического тела

336. Каждому члену формулы (8) соответствует в поперечном сечении некоторое результирующее усилие. Согласно принципу суперпозиции, всякому отдельному усилию соответствуют одни и те же компоненты напряжения и деформации независимо от того, существует ли оно отдельно или в комбинации с любым другим.

Будем считать, что равняется по очереди каждому из членов формулы (8), и постараемся получить вытекающие отсюда следствия.

Сначала заметим, что когда равно нулю, уравнения (9), в которых тогда А к В будут также равны нулю, все же допускают существование компонентов напряжения отличных от нуля. Уравнения (9) вместе с (IV) накладывают условие

которое удовлетворится, если мы примем:

где X — произвольная постоянная.

Вследствие (IV) введенная функция 9 не должна зависеть от а как функция х к у она пока не определена,

337. Положив всюду равным нулю, мы из (I) и получим:

Выражения (10) и (11) для компонентов деформации удовлетворяют всем уравнениям совместности. Функция не зависит от следовательно, выражения (10) удовлетворяют упрощенным уравнениям равновесия (4). Остается удовлетворить уравнению (5), выраженному в форме (7). Оно требует, чтобы

т. е. функция 9 в выражениях (10) должна быть гармонической функцией двух переменных. Итак, мы удовлетворили условиям равновесия нашей задачи, но еще не удовлетворили граничным условиям, наложенным на

Рис. 97.

338. В § 129 главы IV мы показали, что касательное напряжение в любом сечении, перпендикулярном свободной от нагрузки поверхности тела, не может иметь компонента в направлении нормали к поверхности тела. Обозначив через направление внешней нормали к контуру поперечного сечения, мы из рис. 97 видим, что в настоящей задаче это условие записывается так:

где представляет собой угол между направлениями

Если условие (13) удовлетворено вместе с равенствами (3), то боковая поверхность тела полностью свободна от напряжений. Мы знаем, что

Подставив в а потом (10), мы увидим, что условие (13) будет удовлетворяться во всех точках границы, если

Равенство (14) следует принять как граничное условие для функции Оно не противоречит уравнению (12), так как требует, чтобы

[все интегралы берутся по контуру поперечного сечения]. С другой стороны, согласно преобразованию Грина, мы имеем;

[двойной интеграл берется по всей площади поперечного сечения]. Отсюда видно, что левая часть (15) действительно обращается в нуль в силу уравнения (12), если только не имеет особенностей внутри площади поперечного сечения.

339. Теперь исследуем характер результирующей силы, возникающей в поперечном сечении. Напряжение является чисто касательным, и мы имеем:

Отсюда следует, что напряжение в поперечном сечении не имеет результирующей поперечной силы в направлении Аналогичное доказательство показывает, что оно не имеет

результирующей поперечной силы в направлении Взяв любую точку в плоскости поперечного сечения за начало координат, мы получим:

или

где представляет собой результирующий крутящий момент в любом поперечном сечении, а

Таким образом решение, соответствующее нулевому значению является простым кручением. Величина называется модулем кручения поперечного сечения. Ее размерность [длина] С, т. е. произведение на модуль сдвига обычно называют жесткостью при кручении цилиндрического тела.

340. Характер возникшей деформации можно определить из следующих уравнений:

Согласно и мы, продифференцировав (VII) по и получим

Отсюда, так как, согласно мы имеем:

где постоянные интегрирования. Из (VII) и (VIII) следует, что

Отсюда, так как, согласно (11):

мы получим, что

где и С — постоянные интегрирования.

Весьма легко показать, что члены С представляют собой перемещение тела, как абсолютно твердого, а им можно пренебречь. Этого и следовало ожидать, так как не влияют на компоненты напряжения. Итак, мы можем считать, что смещения в нашем решении даются следующими формулами:

Выражения для и к представляют собой поворот поперечного сечения на положительный угол около оси параллельной Таким образом, мы видим, что еще не определенная нами постоянная так же, как и в §§ 157—159 главы V, выражает угол поворота на единицу длины.

Форма поперечного сечения в его собственной плоскости, согласно соотношениям не изменяется. Однако неравное нулю выражение для показывает, что плоскости всех поперечных сечений «искажаются» одинаковым образом. Характер этого искажения определяется функцией а его величина постоянной Искажения не будет только тогда, когда будет

иметь постоянное значение. В этом случае из (14) вытекает, что во всех точках контура поперечного сечения каждая нормаль к контуру поперечного сечения должна проходить через начало. Это значит, что контур должен быть окружностью.

341. Суммируя результаты §§ 336—340, мы получаем решение задачи о действии крутящего момента на цилиндр. Компоненты деформации и напряжения в нашем решении не изменяются с изменением координаты z. Для смещений имеем выражения (18), в которых является поворотом сечений, расположенных на расстоянии единицы длины друг от друга. Компоненты деформации определяются формулами (10) и (11). Жесткость при кручении цилиндра дается формулами (16) и (17). Решение будет точным, когда крутящее усилие приложено в виде касательных напряжений на концевых сечениях и распределено в соответствии с (10). В других случаях наше решение непригодно в окрестности тех областей, в которых приложены силы, но «принцип Сен-Венана» показывает, что его с большой точностью можно применять к тем частям цилиндра, которые не подвергаются действию внешней нагрузки.

В наше решение входит гармоническая функция двух переменных 9. Функция 9 определяется с помощью граничного условия (14), и поэтому имеет различный вид для различных форм поперечного сечения цилиндра. Обычно она называется функцией кручения для данного контура. Задача определения 9 называется задачей кручения для этого контура.

Здесь мы не будем больше заниматься изложением задачи кручения. Заметим только, что любую гармоническую функцию двух переменных можно считать функцией кручения для контура некоторой формы, и что этот контур можно найти, подставив функцию 9 в условие (14).

функция

— гармоническая функция двух переменных. Ее нормальная производная:

Условие (14) удовлетворяется, если во всех точках контура:

т. е. если

Проинтегрировав это уравнение, получаем:

т. е. уравнение эллипса. Таким образом написанная формула дает функцию кручения для сплошного эллиптического вала, или для полого вала, поперечное сечение которого ограничено двумя конфокальными эллипсами. Из (10) и ( § 339 мы для компонентов напряжения получаем:

Жесткость при кручении можно вычислить из формулы (17). Мы найдем, что

в случае сплошного эллиптического сечения.

Пример

1. Проверить, что функция

является функцией кручения для контура, имеющего форму равностороннего треугольника, стороны которого даются уравнением: