Устойчивость сжатых стержней (стоек)

197. Рассмотрим различные задачи, в которых нагрузки и соответствующие прогибы, хотя и вычисляются согласно теории, основанной на законе Гука, не удовлетворяют линейному соотношению.

Возьмем длинный вертикальный стержень постоянного поперечного сечения, заделанный на одном конце и нагруженный на другом сосредоточенной силой Начало координат поместим в нагруженном конце, ось направим по линии действия силы через у обозначим прогиб, измеряемый по горизонтали от В сечении с координатой х действует изгибающий момент Последнее уравнений имеет вид:

или

где

Рис. 63.

Общее решение уравнения (13):

и С — постоянные интегрирования. С равно нулю, так как у должен исчезать вместе с X, так что

где произвольная величина, но у должен обращаться в нуль при и мы имеем:

198. Ясно, что если А или а равны нулю, то согласно (16), у — тождественный нуль. Конечно, это возможное решение нашей задачи, но сейчас оно нас не интересует. С другой стороны, мы удовлетворим всем условиям нашей задачи, если выберем так, чтобы обращался в нуль. Это будет при

Постоянная А все же будет не определена.

Использовав (14), мы можем написать условие (18) в виде

откуда ясно, что решение типа (16) будет существовать тогда, и только тогда, когда сила сжатия имеет одно из критических значений. Каждому критическому значению соответствует специальное выражение у, определяющее специальную форму продольного изгиба, сохраняющуюся при действии одной только силы сжатия. Прямолинейная форма все же является возможной конфигурацией равновесия, но она не будет больше единственной возможной конфигурацией равновесия. Мы скажем, что это предельная конфигурация устойчивости.

Эти результаты, очевидно, отличаются по форме от тех, которые мы получали до сих пор. Перемещением, которое «соответствует» (в смысле главы I, § 7), является опускание точки О на рис. 63. Не задерживаясь на его вычислении, как функции у, мы из (16) можем видеть, что так как А не определена, оно не обязательно пропорционально а может иметь любое значение. Таким образом, задача выходит из области применения общих теорем, изложенных в I и III главах, хотя она решалась согласно теории, предполагающей, что закон Гука является основным соотношением между напряжением и деформацией. Мы вернемся к этому в гл. XIII (§ 476).