Круглая пластинка под действием равномерной поперечной нагрузки

241. Пусть поперечная нагрузка равномерна и условия на границе пластинки, являющейся окружностью, не зависят от 8. Можно принять, что также не зависит от координаты 8. Уравнение (28), если мы подставим из (29), примет вид

Проинтегрировав, получим:

постоянные интегрирования. Для определега!» постоянных интегрирования имеем два условия на границе и два условия в центре. Очевидно, что в центре прогиб и кривизна должны иметь конечные значения. Из третьего уравнения (32) мы имеем:

Это уравнение и последнее уравнение (32) показывают, что условия в центре требуют, чтобы обращались в нуль, т. е. в случае сплошной пластинки получим:

Заделанный край.

Если край пластинки заделан, то граничные условия следующие:

откуда а из (34)

И, наконец,

Шарнирно опертый край.

В этом случае прогиб при как и раньше, должен обращаться в нуль, но второе условие изменится и будет заключаться в том, что компоненты упругого момента (§ 240) по отдельности обращаются в нуль на контуре. Крутящий момент Ну равен нулю в силу предположения

о независимости от . Выражение изгибающего момента сводится к

Отсюда второе граничное условие нашей задачи имеет вид:

Воспользуемся (33) и третьим (32), опустив в них члены с и получим:

Отсюда помощью (34) найдем, что:

Подставив в (34), мы, наконец, получим решение, соответствующее просто опертому краю:

Положив в (35) и мы заметим, что прогиб в центре равен в случае заделанного края, и равен в случае просто опертого края.

Примеры

3. (Camb. M.S.T. 1930.) Края горизонтального диска малой толщины и радиуса а свободно покоятся. Диск несет равномерно распределенную нагрузку. Интенсивность нагрузки на единицу его площади равна Доказать, что угол наклона касательной к деформированной средней поверхности диска в направлении нормали к ее границе равен

Показать, что угол обратится в нуль тогда, когда к нагруженному краю будут приложены моменты величины

Теперь пусть температура нижней поверхности диска равна в), а верхней Показать, что края диска останутся в горизонтальном положении, если момент, приложенный на контуре, увеличить на

коэффициент линейного расширения материала. Предположить, что радиальное расширение диска не допускается.

(Температурные напряжения, если моменты на краю не препятствуют им, изогнут пластинку в сферическую поверхность радиуса

4. (Camb. М. S. Т. 1934.»)) Стальная круглая диафрагма малой толщины и радиуса в свободно опирается по внешнему ободу. Диафрагма иесет цилиндр веса и радиуса Цилиндр, как показано на рисунке, расположен в ее центре. Давление между цилиндром и диафрагмой равномерно распределено по окружности соприкосновения радиуса

Пусть изгибающие моменты на единицу длины сечения, являющиеся следствием действия соответственно радиальных и тангенциальных напряжений. Показать, что на центральной части площади диафрагмы, ограниченной окружностью и О», имеют равные и постоянные значения, а на кольцевой части площади между окружностями радиусов

где а — коэффициент Пуассона для стали.

Равномерное распределение давления по окружности радиуса может рассматриваться как равномерно распределенная нагрузка с интенсивностью эта нагрузка вызывает возрастание скачком на величину, равную на радиусе