ГЛАВА V. ПРОСТЫЕ ТИПЫ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ: ТОНКОСТЕННЫЕ КРУГЛЫЕ ТРУБЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ, КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ ТРУБ И КРУГЛЫХ ВАЛОВ, ЧИСТЫЙ ИЗГИБ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

151. Теория напряжений и деформаций, изложенная в предшествующей главе, позволяет нам рассмотреть несколько типов напряженных состояний, имеющих большое значение в практической деятельности инженера. В этой главе мы рассмотрим: (1) действие внутреннего гидростатического давления на тонкостенную круглую трубу, (2) действие на круглый стержень крутящих моментов, приложенных на концах, (3) действие на цилиндрический стержень (например, балку постоянного поперечного сечения) изгибающих моментов, приложенных на его концах.

Тонкостенная круглая труба под действием внутреннего гидростатического давления

152. Рассмотрим круглую трубу. Внутренний радиус трубы а, толщина Труба закрыта на концах жесткими крышками и подвержена внутреннему давлению интенсивности Предположим, что труба тонкостенная (так, что отношение а мало) и длинная [так что отношение а к ( длина трубы) мало].

Вследствие внутреннего давления, действующего на жесткие крышки (т. е. на площади труба подвергается действию силы растяжения величины Линия действия этой силы растяжения совпадает с осью трубы. Кроме того, труба может быть подвержена действию силы растяжения (с той

же линией действия), вызванной приложением внешних Мы знаем, что действие такого дополнительного растяжения можно (в силу принципа суперпозиции) исследовать отдельно. Заметим, что растяжение такого рода уже изучалось в одной из предыдущих глав и, следовательно, нет надобности рассматривать его еще здесь. Итак, примем, что растяжение является следствием только внутреннего давления, равного

Рис. 46.

Площадь поперечного сечения трубы с большой степенью точности, так как мало, равна — Величина продольного напряжения, вызванного растяжением, с достаточной степенью точности дается формулой

Предположим, что труба разделена на две части плоскостью, содержащей ее ось. Внутреннее давление стремится отделить обе половины трубы друг от друга. Этому стремлению противодействуют напряжения, возникающие по двум сечениям стенок трубы и по сечениям каждой из крышек на концах. Результирующее действие внутреннего давления (по известному принципу гидростатики) эквивалентно равномерно распределенному по площади прямоугольника усилию. Поэтому оно равно силе приложенной к каждой

половине трубы. Сопротивление, оказываемое жесткими крышками, не будет (заметно) зависеть от Когда же I велико, им можно пренебречь по сравнению с сопротивлением стенок трубы. Приняв, что напряжение в стенке трубы равномерно распределено по площади поперечного сечения, мы в качестве величины этого напряжения будем иметь

Третье напряжение (перпендикулярное к стенке трубы, т. е. перпендикулярное изменяется от величины — на внутренней поверхности до нуля на внешней поверхности трубы. Желая решить задачу приближенно, мы можем им пренебречь в сравнении с (которые являются величинами порядка где велико).

153. Таким образом, имеем следующие выражения для напряжений;

здесь дается соотношением (1). Из уравнений (3) главы IV мы получим соответствующие удлинения;

Очевидно, что 2 (тангенциальное удлинение) измеряет также относительное возрастание радиуса трубы.

Вспомнив, что модуль объемного сжатия

И использовав (1), мы первое из (3) можем написать в форме

Только что полученное выражение для подсказывает, что К можно непосредственно определить из эксперимента над тонкостенной трубой, подверженной действию гидростатического давления.

154. Исследуя наше решение, мы заметим: во-первых, что в выражении для мы считали пренебрежимо малым по сравнению с Подобное же предположение лежит в основе нашего пренебрежения (в § 152) радиальными напряжениями Таким образом, выражения (2) и (3) пригодны только для тонкостенных труб. Во-вторых, считая, что удлинение в тангенциальном направлении имеет одно и то же значение по всей длине трубы, мы предполагаем, что крышки, закрывающие концы нашей трубы, являются достаточно жесткими для того, чтобы сопротивляться давлению, приходящемуся на них, но не накладывают ограничений на радиальное удлинение трубы.

Можно воспользоваться принципом Сен-Венана (глава III, §§ 92—94) для того, чтобы показать, что наше решение достаточно точно в центральной части длинной трубы. Связь, осуществляемая крышкой на конце, вызывает (благодаря симметрии) систему равномерно распределенных по окружности трубы радиальных сил. Система этих сил уравновешенная, т. е. она не имеет результирующей. И, следовательно, принцип Сен-Венана (§§ 92—94) утверждает, что влияние крышек будет заметным только в непосредственной близости концов. Тогда в предложенном (§ 153) для прямого определения К эксперименте мы можем не обращать внимания на условия на концах трубы, если выберем для

эксперимента трубу значительной длины и будем измерять продольное удлинение в ее центральной части.

Наше решение на частном примере объясняет замечание, сделанное в § 95 главы III. Там говорилось, что мы получим некоторый стандартный тип деформации, если рассмотрим однородное упругое тело с постоянным поперечным сечением и предположим, что деформация не изменяется от одной его части к другой. К этому стандартному типу деформации, по мере того как мы отходим от областей, в которых приложены действующие силы, должны приближаться все частные виды деформации.

Исследование, касающееся тонкостенной сферической оболочки, мы предоставляем читателю (см. ниже пример 1).

Примеры

1. Показать, что напряжения и деформации в тонкостенной сферической оболочке, подверженной равномерному давлению даются (в том же, что и раньше, приближении) формулами

2. Длинная стальная трубка с внутренним диаметром 12,7 см и толщиной 0,0508 см закрыта на концах и подвержена внутреннему (гидростатическому) давлению жидкости, величина которого характеризуется тем, что максимальное напряжение в материале равно

Найти увеличение емкости трубы в процентах. [0,16.]

3. (Oxford F. Е. Е. S. 1931.) Стальной сферический сосуд имеет диаметр 91,5 см и толщину оболочки 0,95 см. Найти внутреннее гидростатическое давление, необходимое для того, чтобы вызвать в материале напряжение в 630 кг/см.

Какой дополнительный объем воды (при атмосферном давлении) нужно накачать для того, чтобы увеличить это напряжение до (Модуль объемного сжатия для воды кг/см. Объем сферы с диаметром равен

4. (Oxford F. Е. Е. S. 1934.) Тонкостенная стальная цилиндрическая оболочка с полусферами на концах подвержена действию внутреннего давления. Найти выражение для отношения толщины цилиндрической части к толщине полусферы на концах, при котором радиальные перемещения у обеих частей будут одинаковы,

Предполагая, что выведенное отношение между толщиной полусферы и толщиной цилиндрической части оболочки выполняется, и принимая в качестве критерия прочности теорию максимальной упругой энергии показать, что отношение внутреннего давления, необходимого для того, чтобы достичь предела текучести в цилиндрической части, к давлению, необходимому для того, чтобы достичь предела текучести в полусферах на концах, приблизительно равно радиального напряжения пренебречь).

5. (СашЬ. М. S. Т. 1932.) Концы прямой металлической трубы с внутренним диаметром в 15,25 см и толщиной в 0,254 см закрыты жесткими пластинками. Труба наполнена водой. Давление воды измеряется манометром. Труба герметически закупорена, и к концам приложена внешняя растягивающая аксиальная сила в 1820 кг, которая уменьшает давление воды на 0,352 кг/см.

Пренебрегая влиянием пластин на концах, определить значение коэффициента Пуассона для металла. [0,364.]

6. (Oxford F. Е. Е. S. 1933.) При температуре в 15° С латунная труба диаметром в 5,08 см и толщиной 0,0508 см вложена (без натяга) в стальную трубу той же толщины. Трубы соединяются жестко на концах и могут рассматриваться как тонкостенные (т. е. деформацией вследствие радиальных напряжений можно пренебречь).

Для латуни Для латуни коэффициент линейного расширения на Для стали

Найти продольные и кольцевые напряжения в трубах и нормальное давление по поверхностям соприкасания, после того как температура возрастет до 150° С. растягивающее в стали, сжимающее в латуни. Нормальное давление 19,3 га/см.]

7. (Camb. М. S. Т. 1934.) В прямую тонкостенную трубу из твердэй меди при отсутствии в обеих трубах напряжений вложена прямая стальная труба той же толщины и диаметра в 2,54 см. Обе трубы жестко скрепчяются на концах и подвергаются общему аксиальному растяжению силой в

Определить (приближенно) нормальное давление, устанавливающееся по поверхности соприкасания труб, предполагая, что деформациями вследствие нормального радиального напряжения по сравнению с деформациями вследствие кольцевого и продольного напряжений можно пренебречь. [0,455 кг/см.] 8. (Camb. М. S. Т. 1933.) Длинная прямая медная труба с внутренним диаметром в 10,2 см и толщиной в 0,127 см упрочнена одним слоем плотно намотанной стальной проволоки (диаметр 0,127 см). Концы закрыты пластинками, присоединенными к фланцам трубы болтами,

Пусть труба подвержена внуиеннему давлению в и температура всего повышена до 100° С, показать, что растягивающее напряжение в обмотанной проволоке возрастет до величины, примерно, равной .

Коэффициент линейного расширения для стали для меди .

Для меди [Давление проволоки на трубу эквивалентно внешнему гидростатическому давлению (действующему только на цилиндрической поверхности) величины 2,82 если сила растяжения в проволоке в килограммах, а внешний диаметр трубы в сантиметрах.]