Учет упругой энергии сжатия

64. В § 59 мы заметили, что при выводе наших формул для арок мы пренебрегали упругой энергией сжатия. Следовательно, наши формулы должны быть несколько уточнены.

если мы хотим учесть этот эффект. Это необходимо, например, при применении формул к аркам малого подъема. примера рассмотрим двухшарнирную пологую арку параболической формы постоянного поперечного сечения (ср. § 60).

Отождествляя, как и раньше, мы, с достаточной степенью точности, можем считать, что является результирующим распором в произвольном сечении арки. (Фактически это горизонтальная составляющая распора.) При таком предположении упругая энергия сжатия дается уравнение (4), § 38] выражением

где обозначает модуль Юнга, площадь поперечного сечения. В соответствии с § 33 глазы I упругие энергии сжатия и изгиба можно сложить, и тогда вместо (18) мы имеем:

где

откуда

Если подставить из (27) и отождествить то уравнение (29) примет вид

Теперь возьмем арку, рассмотренную в § 60. Воспользуемся (III) и (IV) того же параграфа и получим

Если «раздача» абсолютно не допускается, то и вместо соотношения (32), мы имеем:

Аналогично, если мы положим, что, как в § 62,

то мы найдем, что добавочний распор, вызванный повышением температуры на в градусов, вместо соотношения, получившегося в приведенном там примере, будет выражаться соотношением:

При учете упругой энергии, запасенной распором, мы получаем для меньшее, чем раньше, значение. Этого и следовало ожидать, ибо, по сути дела, раньше мы пренебрегали уменьшением длины арки вследствие распора, а его нужно добавлять к уменьшению пролета вследствие изгиба.

65. В обоих примерах относительная поправка вследствие учета упругой энергии сжатия, является величиной к порядка где соответствующий радиус инерции площади поперечного сечения. Так как мало, то поправка не важна сама по себе; но она, как показывает ниже приводимый пример, может внести существенное изменение при вычислении изгибающих моментов.

Изгибающий момент в арке равен:

где вращающий левую часть арки по часовой стрелке изгибающий момент, вызванный вертикальными силами при отсутствии распора. В примере § 60 мы имели (при

имеет максимальное значение при

Значение этого максимума равно:

отсюда, используя выражение (32), при выводе которого мы пренебрегали упругой энергией сжатия, имеем:

а в соответствии с соотношением (39), в котором этот эффект был учтен.

Сравнивая (IV) и мы видим, что пренебрежение распором в первом исследовании увеличивает значение максимального изгибающего момента в отношении

Если, например, см, см, то максимальный изгибающий момент увеличивается в отношении

т. е. на 15 процентов.

Пренебрежение упругой энергией сжатия при вычислении величины изгибающего момента приводит к ошибочным, но завышенным значениям, т. е. ошибка делается в сторону запаса. Сама по себе ошибка не очень важна, ибо (как было замечено в § 59 и подтверждается полученной формулой) пренебрежение сжатием дает большой эффект только при малом подъеме арки.

Таким образом, ясно, почему в практике обычно учитывается лишь упругая энергия изгиба. Это было, например, сделано в §§ 57—63. Для очень пологих арок все же иногда приходится учитывать эффект сжатия.

Но нам никогда не придется рассматривать тот случай, при котором в нельзя заменить из , а результирующую распора нельзя отождествить с Итак,

если нужно учитывать упругую энергию сжатия, то, в силу пологости арки, всегда можно отождествить с Общая задача не имеет большого практического интереса, а частные примеры можно решить без труда (ср. примеры, данные в конце § 57).