Некоторые приложения теоремы, взаимной с первой теоремой Кастилиано
41. Рассмотрим теперь задачу, изображенную на рис. 12, где 
три одинаковых стержня, имеющие шармиры в 
составляющие между собой одинаковые углы в точке О. Пусть сила растяжения 
приложенная к одному из стержней, растягивает его на 1 см. Чему будет равно перемещение точки О под действием вертикального груза 
Из соображений симметрии можно заключить, что точка О будет опускаться вертикально. Пусть 
— ее перемещение в сантиметрах. Тогда при 
малом укорочение 
будет 8, а удлинения 
и 
будут 8. Следовательно, перемещение точки О вызывает в 
силу сжатия величины 
и силы растяжения в 
и 
величины 
Используя формулу (1) для упругих энергий, запасенных в стержнях 
и 
получим соответственно
Рис. 12.
Полная упругая энергия, запасенная системой, равняется
где 
является перемещением, «соответствующим» внешней силе 
следовательно, по теореме, взаимной с первой теоремой Кастилиано, мы получим
42. Аналогичный пример дан на рис. 13. Стержни 
прикреплены с помощью шарниров без трения к абсолютно жесткой стене 
Их упругие свойства таковы, что под действием растягивающей силы 
стержень 
длины 
получает приращение в 0,1 см.
а каждый 
стержней 
и 
длины которых 200 см, — в 0,2 см. Каково будет перемещение точки 
под действием силы в 
Рис. 13.
Здесь (так как мы не можем воспользоваться симметрией) мы должны предполагать, что под действием приложенной силы 
шарнир 
получит как горизонтальное, так 
вертикальное перемещения. Пусть 
вертикальная, а 
горизонтальная составляющие перемещения точки 
в сантиметрах, тогда 
соответствует 
а сила, соответствующая 83, равна нулю. И мы, использовав теорему, взаимную с первой теоремой Кастилиано, можем написать:
где и, как и раньше, обозначает полную упругую энергию системы.
не вызывает изменения в длине 
но оно удлиняет 
и укорачивает 
на величину 
удлиняет 
на величину 
, а каждый из 
на 
Таким образом, полные удлинения стержней будут следующими:
Из условий задачи мы получим, что силы растяжения в стержнях будут следующими:
Для полной упругой энергии системы, используя (1), мы получим:
Из соотношений (I) мы находим:
Откуда видим, что перемещение точки 
не имеет горизонтальной составляющей. Итак, перемещение точки направлено вертикально вниз и имеет величину [Ответ.]
С помощью (II) мы получим значения усилий в стержнях. Они будут:
