Распространение продольных волн в цилиндрических стержнях

384. Предположим, что продольные напряжения, не сопровождаемые компонентами напряжения других видов, распространяются по цилиндрическому стержню подобно тому, как было рассмотрено выше. Легко вывести уравнение, описывающее это явление. На самом деле движение слоя материала, заключенного между двумя поперечными сечениями, удаленными друг от друга на расстояние зависит от разности сил растяжений действующих на этих плоскостях.

Основываясь на этом, мы имеем:

где через обозначена площадь поперечного сечения.

Если мы примем, что напряжение является чисто продольным, то:

так как является продольным удлинением. Итак, имеем уравнение:

Его можно записать в следующем виде:

в котором (70)

385. Вид уравнения (70) подобен виду уравнения (60). Следовательно, оба уравнения имеют одинаковые функциональные решения, и методы §§ 379—383 можно применять при исследовании решения уравнения (70). Против приведенного вывода можно возражать. Например, смещение, рассматриваемое в § 384, сопровождается расширением. Общая теорема теории распространения волн устанавливает, что фронт волны такого рода возмущений двигается нормально самому себе со скоростью, величина которой определяется из (57). Отношение этой скорости к скорости (§ 384) равно:

Последнее равенство имеет место в силу формулы (8) § 318. Отсюда, видимо, следует, что некоторая часть продольного возмущения распространяется с большей, чем определяемая уравнением (70), скоростью. Таким образом волна продольного напряжения не может двигаться без изменения своей формы.

Настоящая точка зрения выдвигается с большой неуверенностью потому, что многие авторы за основу своих изысканий по распространению напряжений брали уравнение (70). Это были Сен-Венан, Буссинеск, Кельвин и Тэт, Рэлей, Д. Перри. Они использовали методы, принцип которых подобен методам §§ 379—383. Их исследования подробно описаны в сочинениях Лява») и Тимошенко. С помощью экспериментальных исследований Сирса и Уэгстеффа спорный вопрос едва ли может быть решен, ввиду того, что скорости отличаются друг от друга.