Применение метода Рэлея к стойкам с переменным поперечным сечением
487. Наиболее простой формой для у, удовлетворяющей обоим условиям, установленным в § 486, является форма:
Подставив это выражение в (33), мы получим оценку для первой критической силы в такой форме:
Интеграл может быть вычислен с помощью графических или численных методов (например, по правилу Симпсона).
488. Мы применим эту формулу к стержню, рассмотренному В. Л. Каулеем и Г. Леви. Жесткость при изгибе для этого стержня меняется с х по следующему закону:
где 
переменный параметр, который может быть как положительным, так и отрицательным. Начало отсчета по оси х бралось в среднем сечении так, что на концах 
Жесткость при изгибе имеет величину В в среднем сечении 
на концах.
Каулей и Леви получили для этого стержня точное решение уравнения (I), а поэтому первая критическая сила имеет следующее точное значение:
в частном случае, при 
величина 
равняется
Оценим значение первой критической силы в этом случае по нашей приближенной формуле (40).
Если 
то мы имеем
Так, что выражение (I) принимает вид:
где вместо у написано z. Начало координат возьмем в середине стержня. Заменив в формуле (40) у на получим
где
Замечая, что при этих пределах интегриропания
мы из (V) имеем:
Сравнивая этот результат с точным решением (III), мы видим, что получается превышение над истинным значением 
равным 8,1527 на 0,3973, т. е. приблизительно на 4,97%. Мы получим еще более близкую оценку, если при выборе подходящей формы для у будем считать В переменной величиной. Метод, с помощью которого можно провести такую оценку, дается в следующем параграфе.
489. Формула (40) основана на предположении, что кривая прогиба определяется формулой (39), которая не учитывает переменную жесткость при изгибе. Затратив несколько больше труда, можно получить более точное приближение. Это делается следующим образом.
В формулу (33) подставим вместо у решение уравнения
которое обращается в нуль на обоих концах стержня. Это уравнение легко решить приближенными (например, графическими) методами. Его решение таково, что выполняется равенство
Последнее равенство получается после интегрирования по частям при соблюдении условий на концах.
Таким же образом и согласно тех же условий выведем, что
Последнее равенство имеет место в силу уравнения (41). Таким образом, выражение (33) принимает вид:
Если решение уравнения (41) известно, то интегралы, входящие в (42), можно опять вычислить графическими или численными методами. Способ интегрирования уравнения (41) рассматривался в §§ 182—184 главы VI. Для частного примера, рассмотренного в § 488, указанный метод дает величину, которая превышает значение Каулея и Леви приблизительно на 
