Граничные условия

286. Поставим общую задачу. Для тела любой заданной формы следует определить напряженное состояние, вызванное действием данных внешних сил или заданием определенных смещений на поверхности тела. Для решения этой задачи нужно найти значения всех шести независимых компонентов напряжения в каждой точке тела. Компоненты напряжения в каждой точке тела удовлетворяют уравнениям (16) или (17). В каждой точке границы тела, если заданы поверхностные напряжения, компоненты напряжения должны быть такими, чтобы имели заданные значения. Для согласно (7), обозначив через направляющие косинусы внешней нормали к поверхности тела, получим выражения

Направляющие косинусы мы знаем и, таким образом, имеем три соотношения, которым должны удовлетворять компоненты напряжения в каждой точке границы тела.

Эти соотношения при заданных являются граничными условиями нашей задачи. В задачах, связанных с равновесием тела и в случае отсутствия массовых сил, шесть независимых компонентов напряжения в каждой внутренней точке тела связаны тремя уравнениями в напряжениях (17), а в каждой точке поверхности тела связаны тремя граничными условиями (18).

Эти условия только достаточны для определения трех независимых величин. Поэтому задача о напряженном состоянии неразрешима без привлечения других соотношений. Нужные нам добавочные соотношения, точно так же, как в простейших примерах главы I, § 2, мы должны искать в теории деформаций.