Начальные напряжения иного происхождения. Температурные напряжения
78. Способ, с помощью которого в составном теле, указанном на рис. 27, были получены начальные напряжения, несколько искусствен. Но, условия, при которых в том же теле могут возникнуть начальные напряжения, можно создать совсем иным и более близким к практике путем.
Предположим, например, что стержень В может свободно проходить сквозь отверстия в жестких крышках
и имеет
резьбу с гайками (рис. 29). Если гайки завертывают так, что
сближаются друг с другом, то труба А сжимается и оказывает сопротивление этому сближению. Пусть гайки завернуты,
сблизились на определенную величину. Как и раньше, равновесие наступит (при отсутствии внешних сил) тогда, когда сила растяжения в В будет равна по величине силе сжатия в А, т. е. когда соотношение (1) § 75 удовлетворяется. В уравнении (1), как и раньше, X представляет собой величину, на которую эффективная длина В короче той длины, которую в должен был бы иметь для того, чтобы
могли бы подходить друг к другу без начальных напряжений.
Рис. 29.
Таким образом задача (с теоретической точки зрения) не изменилась.
Если труба и стержень имеют различные коэффициенты линейного расширения, то, изменяя температуру, можно создать те же самые условия. Обратимся к рис. 29. Предположим, что при температуре
гайки завернуты так, что крышки как раз касаются (без давления) трубы. Затем температуру повысили до 63. Если А могла бы свободно удлиняться, то ее конец испытал бы относительное удлинение
температурный коэффициент линейного расширения. Полное удлинение было бы
(62 — Полное удлинение В (если этот стержень мог бы свободно расшираться) аналогично было бы
Пусть
Теперь длина В при температуре
будет на X меньше той величины, при которой стержень В можно было бы поставить на место без напряжения. В трубе А возникнет сила сжатия
а в стержне В сила растяжения
Величина
как и раньше, определяется соотношением (1).
79. Рис. 29 взят из заданий, предложенных на выпускных экзаменах в Оксфорде (1932). Решим это задание в качестве примера.
Длинная латунная труба, имеющая средний диаметр 7,62 см и толщину 0,317 см, закрывается на концах, как показано на рис. 29, шайбами, соединенными стальной тягой с диаметром 2,54 см. Гайки вначале затянуты так, что в трубе вызывается сжимающее напряжение величины
Затем к концам тяги прикладывается растягивающая сила, равная
Предполагая, что шайбы на концах абсолютно жесткие, вычислить:
I. Окончательные напряжения в трубе и тяге при постоянной температуре;
II. Напряжения в обеих деталях, когда температура возрастает на 50°С (растягивающая сила при этом действует).
Для стали модуль Юнга
температурный коэффициент линейного расширения
на
Для латуни
Полная растягивающая сила в трубе в тоннах равна
Полная растягивающая сила в тяге должна иметь ту же величину, и потому напряжение в тяге в килограммах на
сантиметр равно
Если приложена растягивающая сила, то как тяга, так и труба испытывают одно и то же удлинение
В § 77 мы видели, что на величину этого удлинения не влияют начальные напряжения. Обе детали достаточно длинные и поэтому в качестве эффективной длины для обеих деталей мы можем взять одну и ту же величину I
хотя тяга, строго говоря, немного длиннее трубы. И тогда из (II) главы II мы будем иметь:
где
относятся к тяге,
к трубе. Очевидно,
Кроме того, мы имеем следующее соотношение:
Из (III) и (IV) получим, что
Дополнительное напряжение в тяге
и уменьшение сжимающего напряжения в трубе (V)
П. Температура повышается на 50°, тогда относительное удлинение тяги, если оно ничем не стеснено, будет
а относительное удлинение трубы, если
ничем не стеснено, будет
Через I, как и раньше, обозначим эффективную длину тяги и трубы. Повышение температуры фактически укорачивает тягу на
Согласно § 78, подставим эту величину вмесго X в уравнение (I) § 75. Мы получим (индексы
имеют прежние значения):
Последнее равенство получится, когда для
мы подставим выражения (2). Здесь Робозначает дополнительную склу растяжения
в тяге и дополнительную силу сжатия в трубе, возникающие при повышении температуры. Записав (VI) в форме
[последнее равенство имеет место согласно (111)] мы для дополнительного растягивающего напряжения в тяге имеем:
Соответствующее увеличение сжимающего напряжения в трубе будет
(II), (V) и (VII) дают решение нашей задачи. Приведем сводку имеющихся напряжений
(см. скан)