Условия на концах, отличающиеся от условий шарнирного закрепления

490. Обращаясь к лежащей в основе метода Рэлея теории (§ 485), мы заметим, что наше доказательство сопряженных соотношений (на которые опирается метод) требует, чтобы величина

обращалась в нуль на каждом из концов стержня в том случае, когда являются двумя различными формами продольного изгиба. В ранее рассмотренном случае оба конца стержня были шарнирно закреплены, и эта величина на каждом из концов обращалась в нуль в силу того, что и должны были иметь нулевые значения на концах. Но равным образом квадратная скобка будет обращаться в нуль на концах и в том случае, когда концы «заделаны», потому что тогда на каждом из концов равны нулю. Итак, мы видим, что сопряженные соотношения имеют место тогда, когда на обоих концах у или у обращается в нуль. Если мы посмотрим на этот результат с точки зрения теоремы энергии, то сможем сказать, что сопряженные

соотношения ижют жсто тогда, когда условия на концах таковы, что реакции связей не совершают работы.

Если это условие выполняется, то для величины определяемой равенством (33), всегда можно получить выражение вида (37). Фуикции стоящие под интегралами суть формы продольного изгиба, удовлетворяющие граничным условиям задачи. Как и в § 486, мы можем показать, что для того чтобы оценка, полученная из равенства (33), была достаточно хорошей, форма, принятая для у, должна удовлетворять на концах только что установленному и записанному курсивом условию. Кроме того, предполагаемую форму у мы должны выбирать «разумно», т. е. так, чтобы она имела достаточно простой вид, так как иначе мы затратим слишком много времени на интегрирование. Кроме того, вообще говоря, она должна давать некоторое представление о характере действительной формы

491. Используя графические или численные методы, легко произвести необходимые интегрирования. Метод, описанный в § 489, пригоден для стержней с шарнирно закрепленными концами. В основе его лежит предположение о том, что во всех случаях возможно выполнить следующее:

(а) заменить точное уравнение (I) уравнением

где некоторая специальным образом выбранная функция x, удовлетворяющая обоим поставленным граничным условиям.

(Ь) Найти решение этого уравнения , удовлетворяющее обоим граничным условиям с помощью методов §§ 182—184 главы VI, или каким-нибудь другим путем, (с) Заменить формулу (33) следующей:

и провести необходимые интегрирования с тем, чтобы найти Замена формулы (33) формулой (44) оправдывается следующими соотнощениями:

Примеры

7. С помощью метода Рэлея получить оценку для стержня постоянного поперечного сечения, один конец которого заделан, а другой шарнирно закреплен (рис. главы VIX В качестве принятой формы у взять кривую прогиба оси стержня, подверженного действию равномерно распределенной нагрузки

8. (Oxford F. Е. Е. S. 1934.) Мачту можно рассматривать как вертикальную копсоль длины Вертикальный груз приложен к ее вершине. Жесткость при изгибе мачты переменна и зависит от х следующим образом:

где — значение жесткости при изгибе в нижнем заделанном конце мачты; х измеряется вверх от этого конца.

Проверить, что потеря устойчивости может произойти тогда, когда груз имеет следующее критическое значение:

Форма прогиба при этом будет

где произвольно, а у — горизонтальный прогиб в сеченни х, измеряемый от вертикали, проходящей через основание мачты.

с помощью приближенного метода Рэлея получить оценку для в этой задаче, взяв в качестве принятой кривой прогиба

где как и раньше, произвольно.

Можете ли вы предложить какое-нибудь объяснение характера ошибки, и почему не следует ожидать, что ваша оценка будет очень точной?